2008考研数农真题及解析

Borntowin12008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的.(1)设函数2sin(1)()1xfxx,则()(A)1x为可去间断点,1x为无穷间断点.(B)1x为无穷间断点,1x为可去间断点.(C)1x和1x均为可去间断点.(D)1x和1x均为无穷间断点.(2)设函数()fx可微,则(1)xyfe的微分dy()(A)(1)(1)xxefedx.(B)(1)(1)xxefedx.(C)(1)xxefedx.(D)(1)xxefedx.(3)设函数()fx连续,20()()xFxftdt,则()Fx()(A)2()fx.(B)2()fx.(C)22()xfx.(D)22()xfx.(4)设函数(,)fxy连续,交换二次积分次序得10022(,)ydyfxydx()(A)01220(,)xdxfxydy.(B)00212(,)xdxfxydy.(C)21200(,)xdxfxydy.(D)20012(,)xdxfxydy.(5)设123,,为3维列向量,矩阵1232123(,,),(,2,)AB,若行列式3A,则行列式B()(A)6.(B)3.(C)3.(D)6.(6)已知向量组123,,线性无关,则下列向量组中线性无关的是()Borntowin2(A)1223312,2,.(B)1223312,,2.(C)1223312,2,.(D)122331,2,2.(7)设123,,AAA为3个随机事件,下列结论中正确的是()(A)若123,,AAA相互独立,则123,,AAA两两独立.(B)若123,,AAA两两独立,则123,,AAA相互独立.(C)若123123()()()()PAAAPAPAPA,则123,,AAA相互独立.(D)若1A与2A独立,2A与3A独立,则1A与3A独立.(8)设随机变量X服从参数为,np的二项分布,则()(A)(21)2EXnp.(B)(21)4EXnp.(C)(21)2(1)DXnpp.(D)(21)4(1)DXnpp.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.(9)函数()2xfxeex的极小值为______________.(10)2||2(1)xexdx______________.(11)曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)处的切线方程是______________.(12)设22{(,)|1,0}Dxyxyyx,则22xyDedxdy______________.(13)设3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则行列式12A______________.(14)设1234,,,XXXX为来自正态总体(2,4)N的简单随机样本,X为其样本均值,则2()EX______________.三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)Borntowin3求极限201cos(sin)lim1xxxe.(16)(本题满分10分)计算不定积分ln(1)xdxx.(17)(本题满分10分)求微分方程2()0xyxedxxdy满足初始条件1|0xy的特解.(18)(本题满分11分)证明：当0x时,2(1)1xxex.(19)(本题满分11分)设sin(2)xyzey,求zx,zy及2zxy.(20)(本题满分9分)设3阶矩阵X满足等式2AXBX,其中311012004A,110102202B,求矩阵X.(21)(本题满分12分)对于线性方程组123123122,21,23.xxxxxaxxxb讨论,ab取何值时,方程组无解、有唯一解和无穷多解,并在方程组有无穷多解时,求出通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为,01,(),12,0,axxfxbx其他,且X的数学期望1312EX,(I)求常数,ab；Borntowin4XY00.10.2010120.30.10.3(II)求X的分布函数()Fx.(23)(本题满分10分)设二维随机变量(,)XY的概率分布为(I)分别求(,)XY关于,XY的边缘分布；(II)求{2}PXY；(III)求{0|0}PYX.Borntowin52Oyx12xy1D2008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的.(1)【答案】(B)【解析】函数2sin(1)()1xfxx在点1x没有定义,而21sin(1)lim1xxx,所以1x为无穷间断点；211sin(1)sin(1)1limlim1(1)(1)2xxxxxxx,所以1x为可去间断点.故选(B).(2)【答案】(D)【解析】(1)(1)(1)(1)xxxxxdydfefeedxfeedx,故选(D).(3)【答案】(C)【解析】由于20()()xFxftdt,则2202220()()()()()2()xxFxftdtftdtfxxxfx,故选(C).(4)【答案】(A)【解析】积分区域D如右图所示.由于(,)|01,220(,)|20,01,2Dxyyyxxxyxy所以,1001202220(,)(,)xydyfxydxdxfxydy,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】根据行列式的性质,有2123213223123223,2,,2,,,2,,02,,26.BA故选(D).(6)【答案】(C)Borntowin6【解析】对于A、B、D选项,由于122331(2)(2)()0；122331(2)2()(2)0；122331()(2)(2)0,根据线性相关的定义可知,A、B、D选项中的向量组都是线性相关的.由排除法可得C正确.事实上,可以根据定义证明选项C正确.设112223331(2)(2)()0kkk,整理得131122233(2)()(2)0kkkkkk.由于向量组123,,线性无关,所以13122320,0,20,kkkkkk此线性方程组的系数矩阵201110021A.由于201220221101104011021021A,所以方程组13122320,0,20,kkkkkk只有零解,即1230kkk.由线性无关的定义可知,向量组1223312,2,线性无关.(7)【答案】(A)【解析】若123,,AAA相互独立,由相互独立的定义可知,121223231313123123()()(),()()(),()()(),()()()(),PAAPAPAPAAPAPAPAAPAPAPAAAPAPAPA由此可得123,,AAA两两独立,故(A)正确；对于选项(B),若123,,AAA两两独立,则Borntowin7121223231313()()(),()()(),()()(),PAAPAPAPAAPAPAPAAPAPA但123123()()()()PAAAPAPAPA不一定成立,即123,,AAA不一定相互独立,(B)不正确；根据相互独立的定义可知,选项(C)显然不正确；对于选项(D),令事件2A,则1A与2A独立,2A与3A独立,但1A与3A不一定独立.故选项(D)不正确.(8)【答案】(D)【解析】X服从参数为,np的二项分布,则(),()(1)EXnpDXnpp.由期望和方差的性质,可得(21)(2)(1)2()121;(21)(2)(1)2()121;(21)(2)4()4(1);(21)(2)4()4(1).EXEXEEXnpEXEXEEXnpDXDXDXnppDXDXDXnpp故选项(D)正确,应选(D).二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.(9)【答案】2【解析】令()0xfxee,可得1x.()xfxe,(1)0fe,根据极值的第二充分条件,可得1x为函数()2xfxeex的极小值点,极小值为(1)2f.(10)【答案】222e【解析】22222||||||202220(1)2222xxxxxexdxedxxedxedxee.(11)【答案】1yx【解析】首先求(0,1)y.方程sin()ln()xyyxx两边对x求导,得1cos()()(1)1xyyxyyyx,将0,1xy代入上式,得(0,1)1y,即切线的斜率为1,所以,切线方程为1yx.(12)【答案】(1)8eBorntowin8【解析】作极坐标变换cos,sinxryr,则22(,)|1,0(,)|01,04Dxyxyyxrr,222221400112001(1).4288xyrDrredxdyderdredree(13)【答案】43【解析】由于A的特征值为1,2,3,所以1236A,1131422863AA.(14)【答案】5【解析】由于1234,,,XXXX为来自正态总体(2,4)N的简单随机样本,所以()2,()4,1,2,3,4.iiEXDXi又由于22()()()EXDXEX,而442114411111()()()()1,44411()()()()2,44iiiiiiiiiiDXDXDXDXEXEXEXEX所以222()()()125EXDXEX.三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)【解析】2200001cos(sin)1cos(sin)sin(sin)cossin1limlimlimlim2221xxxxxxxxxxxxxe.(16)(本题满分10分)【解析】令2,,2txxtdxtdtBorntowin9ln(1)2ln(1)2ln(1)2112ln(1)2(1)12ln(1)22ln(1)2(1)ln(1)2.xdxtdtxtttdttttdttttttCxxxC(17)(本题满分10分)【解析】原方程可化为1xyyxex,则11.dxdxxxxxxyeexedxCxedxCxeCx将10xy代入得1Ce,故所求特解为xxyxee.(18)(本题满分11分)【解析】设2()(1)1xfxxex,则22()(12)1,()4xxfxxefxxe.当0x时,()0fx,则()fx单调增加,故()(0)0,()fxffx单调增加.于是(