含一个量词的命题的否定

1.4.3含有一个量词的命题的否定要判定全称命题“x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.判断全称命题和特称命题真假要判定特称命题“x0∈M,p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.复习回顾:常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.常见的存在量词有“存在一个”“至少一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.探究1)写出下列命题的否定所有的矩形都是平行四边形；2)每一个素数都是奇数；23),210xRxx这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？1)存在一个矩形不是平行四边形；2)存在一个素数不是奇数；否定:xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)x0∈M,﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)3)x0∈R,x02-2x0+1＜0从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:全称命题的否定是特称命题.,()xMpx它的否定:px0∈M,﹁p(x0)例1写出下列全称命题的否定：(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆;(3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.解：(1)¬p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.(3)¬p:0,xZ20x的个位数字等于3.【说明】否定时,不能只是简单的否定结论，全称命题的否定变成特称命题.探究1)写出下列命题的否定有些实数的绝对值是正数；2)某些平行四边形是菱形；这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？否定:1)所有实数的绝对值都不是正数;2,10xRxxM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)2)每一个平行四边形都不是菱形;3)x0∈M,p(x0)x0∈M,p(x0)x0∈M,p(x0)3)x0∈R,x02+1＜0从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.特称命题:p它的否定:pxM,p(x)特称命题的否定是全称命题.x0∈M,p(x0)一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:例2写出下列特称命题的否定：(1)(2)p:有的三角形是等边三角形;(3)p:有一个素数含三个正因数.p:x0∈R,x02+2x0+2≤0解：2,220.xRxx(1)¬p:(2)¬p:所有的三角形都不是等边三角形.(3)¬p:每一个素数都不含三个正因数.【说明】否定时，不能只是简单的否定结论，特称命题的否定变成全称命题.课堂练习：教材26页练习1.写出下列命题的否定，并判断真假：,;nZnQ(1)(2)任意素数都是奇数；(3)每个指数函数都是单调函数.解：(1)n0∈Z,n0∈Q.(2)存在一个素数,它不是奇数；(3)存在一个指数函数,它不是单调函数.2.写出下列命题的否定：(1)有些三角形是直角三角形；(2)有些梯形是等腰梯形；(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数.解：(1)所有三角形都不是直角三角形；(2)每个梯形都不是等腰梯形；(3)所有实数的绝对值都是正数.解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.隐蔽性否定命题的确定：例3.写出下列命题的否定：（1）若x24，则x2；（2）若m≥0,则x2+x－m=0有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.例3.写出下列命题的否定：（1）若x24，则x2；（2）若m≥0,则x2+x－m=0有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.解：(1)原命题完整表述：对任意的实数x,若x24,则x2.它的否定：存在实数x0，满足x02＞4，但x0≤2.(2)原命题完整表述：对任意实数m,若m≥0,则x2+x－m=0有实数根.它的否定：存在非负实数m0,使x2+x－m=0无实数根.(3)原命题完整表述：所有可以被5整除的整数，末位是0；否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0；例3.写出下列命题的否定：（1）若x24，则x2；（2）若m≥0,则x2+x－m=0有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.解：(4)原命题完整表述：所有能被8整除的数能被4整除.否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(5)原命题完整表述：任意四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等.否定：存在一个四边形，它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等.