MUSIC算法

6.4.3MUSIC算法基本原理6.4.3.1信号模型MUSIC算法是针对多元天线阵列测向问题提出的，用含M个阵元的阵列对MKK个目标信号进行测向，以均匀线阵为例，假设天线阵元在观测平面内是各向同性的，阵元的位置示意图如图6.23所示。k12iMkd图6.23均匀线阵示意图来自各远场信号源的辐射信号到达天线阵列时均可以看作是平面波，以第一个阵元为参考，相邻阵元间的距离为d，若由第k个辐射元辐射的信号到达阵元1的波前信号为)(tSk，则第i个阵元接收的信号为c/sin1jexp0kkkditSa(6.84)其中，ka为阵元i对第k个信号源信号的响应，这里可取1ka，因为己假定各阵元在观察平面内是无方向性的，0为信号的中心频率，c为波的传播速度，k表示第k个信号源的入射角度，是入射信号方向与天线法线的夹角。计及测量噪声（包括来自自由空间和接收机内部的）和所有信号源的来波信号，则第i个阵元的输出信号为tnditSatxikKkkkic/sin1jexp01(6.85)式中，)(tni为噪声，标号i表示该变量属于第i个阵元，标号k表示第k个信号源。假定各阵元的噪声是均值为零的平稳白噪声过程，方差为2，并且噪声之间不相关，且与信号不相关。将式(2-13)写成向量形式，则有tttNASX(6.86)式中，T21)](,),(),([)(txtxtxtMX为M维的接收数据向量T21)](,),(),([)(tStStStKS为K维信号向量)](,),(),([21KaaaA为KM维的阵列流形矩阵T)1(jj]e,,e,1[)(00kkMka为M维的方向向量，csinkkdT21)](,),(),([)(tntntntMN为M维的噪声向量6.4.3.2算法原理由于各阵元的噪声互不相关，且也与信号不相关，因此接收数据)(tX的协方差矩阵为ttEHXXR(6.87)其中，上标H表示共轭转置，即IAPAR2H(6.88)P为空间信号的协方差矩阵ttEHSSP(6.89)由于假设空间各信号源不相干，并设阵元间隔小于信号的半波长，即2d，0cπ2，这样矩阵A将有如下形式DθMλdθMλdθMλdDdddsin)1(π2j2sin)1(π2j1sin)1(π2jsinπ2j2sinπ2j1sinπ2jeeeeee111A(6.90)矩阵A是范德蒙德阵，只要ji)(ji，它的列就相互独立。这样若P为非奇异阵，则有KHrankAPA(6.91)由于P是正定的，因此矩阵HAPA的特征值为正，即共有K个正的特征值。在式(6.88)中2＞0，而HAPA的特征值为正，R为满秩阵，因此R有M个正特征值，按降序排列为M321，它们所对应的特征向量为Mvvv,,,21，且各特征向量是相互正交的，这些特征向量构成MM维空间的一组正交基。与信号有关的特征值有K个，且MK，它们分别等于HAPA的各特征值与2之和，而矩阵的其余)(KM个特征值为2，也就是说2为R的最小特征值，它是)(KM重的。因此只要将天线各阵元输出数据的协方差矩阵进行特征值分解，找出最小特征值的个数En，据此就可以求出信号源的个数K，即有EnMK(6.92)同时求得的最小特征值就是噪声功率2，设已求得R的最小特征值为min，它是En重的，对应着En个相互正交的最小特征向量，设为iv，1,iKML，则有iivRvmin，1,,iKML(6.93)代入式(6.88)得0min2HiivvAPA，1,,iKML(6.94)由于min=2，所以0HivAPA，1,,iKML(6.95)由于矩阵A是范德蒙阵，矩阵P是正定阵，因此0HivA，1,,iKML(6.96)式(6.96)表明R的诸最小特征向量与矩阵A的各列正交。由于R的最小特征向量仅与噪声有关，因此由这En个特征向量所张成的子空间称之为噪声子空间，而与它正交的子空间，即由信号的方向向量张成的子空间则是信号子空间。将矩阵R所在的MM维空间分解成两个完备的正交子空间，信号子空间和噪声子空间，形式上可以写成1212span,,,span,,,KKMKvvvaaaLL为了求出入射信号的方向，可以利用两个子空间的正交性，将诸最小特征向量构造一个)(KMM维噪声特征向量矩阵NE12,,,NKKMEvvvL(6.97)则在信号所在的方向k上，显然有0aEkNH(6.98)上式右边0为零向量。由于协方差矩阵R是根据有限次观测数据估计得到的，对其进行特征分解时，最小特征值(噪声方差)和重数En的确定以及最小特征向量的估计都是有误差的，当NE为存在偏差时，式(6.98)右边不是零向量。这时，可取使得)(HkNaE的2-范数为最小值的kˆ作第k个信号源方向的估值。连续改变值，进行谱峰搜索，由此得到K个最小值所对应的就是K个信号源的位置角度。通常做法是利用噪声子空间与信号子空间的正交性，构造如下空间谱函数aEEaPHHMUSIC1NN(6.99)谱函数最大值所对应的就是信号源方向的估计值。为了更清楚起见，现把MUSIC算法计算步骤总结如下：(1)根据天线阵列中各阵元接收的数据nxi估计协方差矩阵Rˆ；由阵列输出信号的采样值求协方差矩阵R的估计Rˆ，设阵列输出信号向量表示为T21,,,nxnxnxnMX，每次采样叫做一个快拍，设一次估计所用的快拍数为L，则共有L个数据向量nX，Ln,,2,1，于是nnLLn1H1ˆXXR(6.100)(2)对Rˆ进行特征值分解，获得特征值i和特征向量ivMi,,2,1；(3)按照某种准则确定矩阵Rˆ最小特征值的数目En，设这En个最小特征值分别为MKK,,,21，则MKKEn2121(6.101)与之对应的特征向量为MKKvvv,,,21,利用这些特征向量构造噪声特征向量矩阵MKKNvvvE,,,21；(4)按照式(6.102)计算空间谱MUSICP，进行谱峰搜索，它的D个极大值所对应的就是信号源的方向aEEaPHHMUSIC1NN(6.102)上述是经典MUSIC算法的基本原理，许多限制是可以放宽或取消的。首先，关于均匀线阵的限制不是必须的，实际中可采用几乎是任意形状的阵列形式，只要满足在D个独立信号源的条件下，矩阵A具有D个线性无关的列就可以了。其次，天线阵元在观测平面内无方向性这一点也不是必要的，而且还可以考虑三维空间的DOA估计问题，即不仅估计信号的方位角，还要估计它的俯仰角，当然MUSIC算法还用于频率、方位和俯仰的联合估计。