第15章电路方程的矩阵形式(丘关源)

第十五章电路方程的矩阵形式重点：(1)关联矩阵A、割集矩阵Q及基本割集矩阵Qf、回路矩阵B及基本回路矩阵Bf的概念及其列写方法；(2)回路电流方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式及其列写方法。4-2§15.0电路的图的复习一、电路的图(简称G)的画法图G抛开元件性质只画支路和结点6543217有向图支路方向(电压电流的关联方向)R4R1R3R2R6uS6+_iR5n(结点数)＝4b(支路数)＝74-3二、名词解析(1)路径——从一个节点到达另一节点所经过的支路。(2)连通图——任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。例如：非连通图加此路径后为连通图4-4(3)回路(Loop)一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路径就构成回路。12345678253124578128457不是回路235是回路共有几个回路？答：13个回路。4-5(4)树T(Tree，简称T)——树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连通图。注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径不是树它的树对应同一个图有很多的树树支(bt)：构成树的支路。连支(bl)：属于G(图)而不属于T(树)的支路。12345678若：b＝图G中所有的支路数n＝图G中所有的结点数则：树25782578是树支1346是连支树支数bt＝n－1连支数bl＝b－(n－1)3(5)基本回路(单连支回路)l——在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组成的回路。(每条连支与若干条树支所组成的回路)12345678树2578基本回路:127、325458、678注意：1)基本回路具有独占的一条连枝的特点。用基本回路列出KVL彼此之间一定不会重复，彼此独立。因此基本回路一定是独立回路。2)独立回路数目=基本回路的数目=连支数=b－(n－1)。3)对于平面电路，独立回路数目=网孔数。4-8三、KCL的独立方程数n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个。四、KVL的独立方程数KVL的独立方程数＝基本回路数＝b－(n－1)五、电路的独立方程数n个结点、b条支路的电路中，电路独立的方程总数为：(n－1)＋b－(n－1)＝b——等于支路数目4-9§15.1割集(Cutset)一、割集Q的基本性质割集Q：是连通图G中某些支路的集合，其特点为：(1)把割集Q中全部支路移去，电路图分成二个分离部分。(2)任意放回割集Q中一条支路，电路图仍构成连通图。876543219可见：(196)支路全部移去，图分成二个分离部分。任意放回(196)中任一条支路，图构成连通图。所以(196)是割集。8765432194-10876543219(1268)是割集吗？是。75439(289)、(368)、(467)、(578)等也是割集。割集的意义：一个割集就对应于一个结点(或广义结点),即对应于一个KCL方程。4-11不是。876543219(36587)、(36289)是割集吗？4219二、独立割集独立割集：割集中包含有未被割过的支路。独立割集对应于一组独立的KCL方程。三、基本割集基本割集：只含有一个树枝的割集。基本割集一定是独立割集。但独立割集不一定是基本割集。基本割集数=独立割集数=树枝数bt=n－14-12§15.2关联矩阵回路矩阵割集矩阵在分析复杂电路时常遇到列代数方程组或微分方程组：如回路电流法、结点电压法……。在回路多、结点多的情况下列写和求解方程十分麻烦。但如果采用矩阵表示这些方程组，会使它们的表示变得十分简洁，同时也方便研究和计算，特别适合在计算机上应用。一、图的矩阵分类1、关联矩阵——结点~支路关系矩阵2、回路矩阵——回路~支路关系矩阵3、割集矩阵——割集~支路关系矩阵4-13二、关联矩阵(用A表示)在任一图中，若某一支路连接在某两个结点上，称该支路与这两个结点彼此关联。将该图所有结点与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称关联矩阵Aa。n个结点、b条支路有向图的关联矩阵Aa如何列写？65432171234(2)给各支路、各结点分别编号。为区别起见,结点编号加一小圆圈。1、关联矩阵Aa的列写步骤(1)确定支路方向(电压电流的关联方向)，使图成为有向图。4-14支支路路……12结点①结点②…………有n个结点,就有n行。有b条支路,就有b列。(3)列写矩阵Aa。注意：矩阵中的行对应于结点，列对应于支路。333231232221131211aaaaaaaaaAa矩阵Aa的每一个元素ajk定义为：ajk＝+1结点j与支路k关联，支路方向背离结点。ajk＝-1结点j与支路k关联，支路方向指向结点。ajk＝0结点j与支路k无关。4-1565432171234Aa＝下面这个有向图，关联矩阵Aa如何列写？①②③④1234567+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+10-10+1-100Aa中任意(n-1)行相加等于最后一行×(-1)。或：n行相加等于0。这是因为n个结点只有(n-1)个是独立的。即Aa的行彼此不独立。Aa的行怎样才能彼此独立？——将Aa的任一行划去(参考点)，并用A表示，称为2、降阶关联矩阵A(今后常用，简称关联矩阵)4-16注：通过A可以确定Aa，从而画出有向图。例如设③为参考节点，得关联矩阵A：A＝①②④1234567+1+1000+10-10+10+10-10-10+1-10065432171234Aa＝①②③④1234567+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+10-10+1-1004-173、引入关联矩阵的作用(1)可以用矩阵Ai表示独立的KCL方程组。即独立的KCL方程组可表示为:Ai＝0——证毕(n-1)个独立KCL方程65432171234证明：设：各支路电流列矩阵为：i＝[i1i2i3i4i5i6i7]T以④为参考节点的A与i相乘得:A·i＝i1i2i3i4i5i6i7＝+i1+i2+i6-i1+i3+i5-i7-i3-i4-i6+i7＝000+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+14-18(2)可以用矩阵ATun表示各支路电压。65432171234各支路电压~各结点电压的关系矩阵：u＝ATun设：各支路电压列矩阵为：u＝[u1u2u3u4u5u6u7]T以④为参考节点各结点电压列矩阵为:un＝[un1un2un3]T以④为参考节点的AT与un相乘得:＝+un1-un2+un1+un2-un3-un3+un2+un1-un3-un2+un3＝u1u2u3u4u5u6u7ATun＝un1un2un3+1-10+1000+1-100-10+10+10-10-1+1＝u4-20三、回路矩阵(用B表示)在任一图中，若某个回路由一些支路组成，称这些支路与该回路相关联。将该图所有独立回路与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称回路矩阵B。l个独立回路、b条支路的回路矩阵B如何列写？1654231234(2)给各支路分别编号。给各独立回路分别编号，并确定绕行方向。1、回路矩阵B的列写步骤(1)确定支路方向(电压电流的关联方向)，使图成为有向图。l1l3l24-21回路矩阵B的每一个元素bjk定义为：bjk＝+1支路k与独立回路j关联，二者方向一致。bjk＝-1支路k与独立回路j关联，二者方向相反。bjk＝0支路k与独立回路j无关。(3)列写矩阵B。注意：矩阵中的行对应于独立回路，列对应于支路。333231232221131211bbbbbbbbbB有l个独立回路，就有l行。有b条支路，就有b列。支支路路……12独立回路l1独立回路l2…………4-22B＝下面这个有向图，回路矩阵B如何列写？l1l2l3回路矩阵B的每一个元素bjk定义为：bjk＝+1支路k与独立回路j关联，二者方向一致。bjk＝-1支路k与独立回路j关联，二者方向相反。bjk＝0支路k与独立回路j无关。123456+1-100-100+1+100+1000-1+1-11654231234l1l3l2注：通过B可以画出有向图。此外：独立回路取法不同，B则不同。4-2365432171234例15421234树Bf＝bl1bl3bl6bl71234567+1-100+10000+1-1-1000-10-10+10000+1+10+12、基本回路矩阵Bf定义：(1)选基本回路(单连枝回路)作为独立回路;(2)连支的支路方向作为回路绕行方向；(3)注意:矩阵中,行顺序=连支顺序。以2、4、5支路为树,列Bf。若将列中的连支和树支分开两边，会产生什么现象？4-25矩阵形式的、独立的的KVL方程组可表示为:Bu＝03、引入回路矩阵B的作用(1)可以用回路矩阵Bu表示独立的、矩阵形式的KVL方程组1２３６５４①②④③设各支路电压列矩阵为：u＝[u1u2u3u4u5u6]TBu=u1u2u3u4u5u6＝000123456l1l3l2+u1-u2-u6+u2+u3+u4-u3-u5+u6＝以l1、l2、l3为独立回路的B与u相乘得:l1l2l3独立KVL方程1-1000-101110000-10-114-261２３６５４①②④③(2)可用BTil表示各支路电流。各支路电流~各回路电流的关系矩阵：i＝BTil设各支路电流列矩阵为：i＝[i1i2i3i4i5i6]T设各独立回路电流列矩阵为：il＝[il1il2il3]T＝i1i2i3i4i5i6BTil＝il1il2il3100-11001-101000-1-101l1l3l2il1-il1+il2il2–il3il2-il3-il1+il3＝＝i4-27四、独立割集矩阵(用Q表示)在某图中，若某一割集由某些支路组成，称这些支路与该割集关联。将该图所有独立割集与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称独立割集矩阵Q(简称割集矩阵)。n个结点、b条支路的割集矩阵Q如何列写？1654231234(2)给各支路编号。(3)给各独立割集编号，并指定各割集方向。割集将图分为两部分后，割集方向为其中一部分指向另一部分。1、割集矩阵Q(C)的列写步骤(1)确定支路方向(电压电流的关联方向)，使图成为有向图。Q1Q3Q24-28n个结点的图,其独立割集为(n-1)个,有(n-1)行。有b条支路，就有b列。(4)列写矩阵Q。注意：矩阵中的行对应于独立割集，列对应于支路。333231232221131211qqqqqqqqqQ矩阵Q的每一个元素qjk定义为：qjk＝+1割集j与支路k关联，二者方向一致。qjk＝-1割集j与支路k关联，二者方向相反。qjk＝0割集j与支路k无关。支支路路……12独立割集Q1独立割集Q2…………4-29下面这个有向图，独立割集矩阵Q如何列写？Q1Q2Q3矩阵Q的每一个元素qjk定义为：qjk＝+1割集j与支路k关联，二者方向一致。qjk＝-1割集j与支路k关联，二者方向相反。qjk＝0割集j与支路k无关。1234561654231234Q1Q3Q2-1-11000-1-10-101100110Q＝注:独立割集取法不同，Q则不同。4-30以2、5、6支路为树,列Qf。Q2Q5Q612345611-100010011000-1-101Qf＝2、基本割集矩阵Qf定义：(1)选基本割集(单树枝割集)为独立割集;(2)树支的支路方向作为割集方向；(3)注意:矩阵中,行顺序=树支次序。1654231234Q2Q56521234树例1Q6若将列中的连支和树支分开两边，会产生什么现象？4-313、引入割集矩阵Q的作用(1)可以用Qi表示独立的、矩阵形式的KCL方程组设各支路电流列矩阵为：i＝[i1i2i3i4i5i6]T(n-1)个独立KCL方程Q·i＝＝00011-100010011000-1-101i1i2i3i4i5i6123456i1+i2-i3i1+i4+i5-i3-i4+i6＝矩阵形式的、独立的KCL方程组可表示为:Qi＝0165423123