总复习-安徽水利水电职业技术学院--以服务为宗旨，以就业

高等数学高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院第一章函数与极限主要内容（一）函数极限的概念（二）函数极限的运算（三）函数连续的概念高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院含用极限运算类型1.常规型:00lim()()xxfxfx2.特殊型:分段点处极限:)(lim0xfx)(lim0xfx∞型:倒数求无穷小A0型:有界变量与无穷小量之积和式极限:先求和式再求极限)00(.3分解因式消零因子)(0xx).(4用最高次或“最大”项除分子分母含(反)三角函数用.1xsinxlim0x0)5.(1)()(xgxfexxx)11(limexxx10)1(lim洛必达法则洛必达法则01lim()()nbiiaifxfxdx定积分的定义洛必达法则高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院函数连续概念点连续处连续在函数0x)x(fy)x(f)x(flim0xx0特殊：左连续右连续)x(f)x(flim0xx0)x(f)x(flim0xx0区间连续在区间上每一点都连续的函数初等函数连续性基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数性质最大值和最小值定理有界性定理零点定理介值定理Mmab21xyo)(xfyab321xyo)(xfyMBCAmab1232x1xxyo)(xfy高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院例42lim()tgxxtgx含的型:)x(g)x(f)01(exxxxxx)(lim)(lim11110解拼、配、凑42lim()tgxxtgx42lim1(1)tgxxtgx4lim1(1)xtgx11tgx(1)2tgxtgx2412(1)11lim1(1)tgxtgxtgxtgxxtgx1e典型例题洛必达法则解2442ln()lim()limtgxtgxtgxxxtgxe42ln()limtgxtgxxe4lim(2ln())xtgxtgxe4ln()lim2xtgxctgxe4ln()lim21xtgxctgxee高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院例43101tlim().1sinxxgxx求10110(10)exxxxxx)(lim)(lim11110解法讨论解:3101tlim[1(1)]1sinxxgxx原式310tsinlim[1]1sinxxgxxx31sinsin1sin1sin0tsinlim11sinxtgxxtgxxxxxgxxx31sinsin1sin1sin0tsinlim11sinxtgxxtgxxxxxgxxx30tsin1lim1sinxgxxxx301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxxxxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim202112.e含的型:)x(g)x(f)01(高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院例43101tlim().1sinxxgxx求解:解法讨论则设,)(lim,0)(limxgxf)](1ln[)(lim)()](1lim[xfxgxgexf)]()[(limxfxge.)()(limxfxge))(~)](1ln[(xfxf3101tlim[1(1)]1sinxxgxx原式310tsinlim[1]1sinxxgxxx30tsin1lim1sinxgxxxx301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxxxxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim2021301tsinlim1sinxgxxxxe常用等价无穷小10110(10)12e0(10)e301tsinlimln[1]1sinxgxxxxe高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院nnnn1321)(lim5、例n10(12)3(1)nnnexxxxxx)(lim)(lim11110解:10(12)3(1)nnn(10)11lim(23)(1)23nnnnnn11(23)231lim(23)(1)23nnnnnnnnnn11(23)(23)1lim(23)(1)23nnnnnnnnnnn11(23)(23)211lim3()(1)3123nnnnnnnnnn003(01)3e0含的型:)x(g)x(f)01(高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院nnnn1321)(lim5、例解:113(123)(33)nnnnnlim33n1lim(33)3nnn1lim(123)3nnnn解:1112lim(123)lim3()133nnnnnnnnnn10(12)3(1)nnn(10)112lim3()133nnnnn121,()30,3nnn0lim3(001)3n.,的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy求极限的方法(技巧)注意:高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院,1时当x)(lim1xfx)1(lim1xx.2)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(间断在故xxf,1时当x)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim1xfx)1(lim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(连续在故xxf.),1()1,()(连续在xf例6.1,2cos1,1)(的连续性讨论xxxxxf解改写成将)(xf1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内连续在显然xf高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院例).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设讨论:()F1()()02ff1()()(),2Fxfxfx.]21,0[)(上连续在则xF零点定理ab321xyo)(xfy高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院例).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设证明),()21()(xfxfxF令.]21,0[)(上连续在则xF),0()21()0(ffF),21()1()21(ffF讨论:,0)0(F若,0则);0()210(ff,0)21(F若,21则);21()2121(ff则若,0)21(,0)0(FF)21()0(FF2)]0()21([ff.0由零点定理知,.0)(),21,0(F使.)()21(成立即ff综上,],1,0[]21,0[必有一点.)()21(成立使ff高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院一、证明方程bxaxsin，其中0,0ba，至少有一个正根，并且它不超过ba.二、若)(xf在],[ba上连续，bxxxan21则在],[1nxx上必有，使nxfxfxfxfn)(......)()()(21.三、设)(xf在],[ba上连续，bdca,试证明：对任意正数qp和；至少有一点],[dc,使)()()()(fqpxqfxpf.高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院主要内容（一）导数与微分的概念（二）导数与微分的运算第二章导数与微分高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院导数的概念导数的定义dxxdfdxdyxfy)(),(,或xy0limxxxfxxfx)()(lim0=几何意义oxy)(xfyT0xM)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf可导与连续的关系函数可导一定连续，但连续不一定可导.xy2xy0xy31xyxy1高阶导数的定义记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.0()()(())limxfxxfxfxx高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院导数的运算求导法则和、差、积、商的求导法则).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu反函数的导数)(1)(xxf复合函数的求导法则)()(000xufdxdyxx初等函数的求导分解成基本初等函数(复合),或常数与基本初等函数的和、差、积、商.基本初等函数或常数的导数特殊求导方法隐函数求导隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.对数求导法.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.参数方程所确定的函数的导数间的函数与确定参数方程xytytx)()(dtdxdtdydxdy方法:高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院微分00()()()yfxxfxAxox可微在点函数0x)x(fy(),000dydfxdyAxxxxx记作或即可微的条件).0(xfA.可微可导微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.dxxfdy)(微分的几何意义微分形式的不变性微分形式总是的函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxdxxfdy)(近似计算的基本公式函数增量的近似值,很小时当x00xxdyxxy.)(0xxf函数的近似值xxfxfxxf)()()(000)(很小时x;0)(.1附近的近似值在点求xxxf;0)(.2附近的近似值在点求xxfxffxf)0()0()(高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院例12221111arctan1ln,.2411xyxyx设求解,12xu设,11ln41arctan21uuuy则)1111(41)1(212uuuyu411u,2142xx)1(2xux,12xx.1)2(123xxxyx典型例题高等数学复习课件安徽水利水电职业技术学院22()(0,0),.yxdyyfxyxxydx设函数由方程所确定求例2解两边取对数,ln1ln1xyyx,