超市服务模型

莆田学院2001级数学本科数学与应用数学专业毕业论文1超市服务方案的随机模型数学系01数本2001141120刘晨凡指导老师：周天明摘要：为了提高超市服务效率，我们根据超市顾客到达及服务问题的基本规律，建立了超市服务系统的随机模型，并由此得出最佳服务方案，并对所建立的模型进行仿真模拟，验证了所得模型的合理性。本方案可以用于超市服务方案的确定。关键词：随机摸拟；随机数字；随机变量；仿真摸拟；Poisson分布；指数分布；随机模型０、引言超级市场门口排列着若干收款台，顾客携带着采购的商品在收款台前排队等候验货付款。若在顾客少时，就能只接付款离开；若在购物高峰期，顾客就得排队等待。作为顾客，我们所关心的是何时能付款后离开，作为超市又不可能为每一个顾客提供一个收款台，这样会花费大量的金钱，但是他会增开几个收款台使得排队的人数恢复到原来的水平。那么要增开几个这样的收款台才能即不多花钱又能使顾客不至于排队等太久呢？这就是本文所要探讨的。1、随机模型1.1基本假设：随机服务过程满足三个性质:顾客到达平稳性、独立增量性和普通性.根据排队付款问题我们就这三个性质做如下假设,并由此得到关于顾客到达时刻和服务时间的概率分布。①顾客到达平稳性：设在,ttt时间内到达顾客数只与时间间隔t有关而与时间起点t无关，若以nPt记为在[0,]t时间区间内到达n个顾客的概率，则显然有：01nnPt莆田学院2001级数学本科数学与应用数学专业毕业论文2②独立增量性：在,ttt内来到n个顾客这一事件与时刻t以前发生的事件独立。③普通性：在充分小的时间间隔中，最多来到一个顾客，即，若记0121nntPtPtPt应有tot，即0lim0ttt普通性表明，在同一时间来两个或两个以上顾客实际上几乎是不可能的，因此在后续的推导及计算时予以忽略。1.2主要结论引理1若fx是连续函数，且对一切,xy有fxfyfxy（1）则xfxa证明：由fxfyfxy知对任意x，202xfxf因此fx非负。一直用（1）式，对任意正整数n及实数x有nfnxfx（2）在上式中取1xn得以考虑11nffn（3）记10af，则11nfan，因此对于任意正整数m及n成立1mmnmffann（4）这样，我们已证得（4）对一切有理数成立，再用利用无理数的性质及函数的连续性可以证明对无理数也成立，从而证明了引理。引理2：用表示[0,]t内到达的顾客数，则服从参数为t的Poisson分布，即!ntntPtPnen。证明：对0t，考虑0,tt中来到n个顾客的概率是nPtt，由独立性增量性及全概率公式得0110nnnnPttPtPtPtPtPtPt（5）特别地000PttPtPt，0Pt表示在长度为t的时间间隔中没有来顾客的概率，因此它关于t单调下降，由引理知0tPta。莆田学院2001级数学本科数学与应用数学专业毕业论文3其中0a，若0a，则00Pt，这说明不管怎么短的时间间隔内都要来顾客，这种情形不在我们考虑之列。此外，因0Pt是概率，故应有1a，而当1a时，01Pt，这表示不来顾客，也不是我们想要的，所以应有01a，从而存在使0tPte，因此当0t时，我们有01tPtetot101PtPtttot，22nlllllPtPtPttot由（5）得11nnnPttPttPttot，1n因此11,1nnnnPttPtPtPtont令0t得'1,1nnnPtPtPtn由于已知0tPte，故有'11tPtePt，可解得1tPte，这样下去，可解得一切nPt。!ntntPten，0,1,2,n，这正是参数为t的Possion分布。从而，在该区间内有一位顾客到达的概率为(1)P=ttetot，由基本假设(3)知没有顾客到达的概率是1tot。引理3：若服从参数为t的Possion分布，若以T表示顾客到达的时间间隔，则T服从参数为的指数分布。证明：0PTt,而当0t时，因为在等待时间内没有顾客来，所以有0tPTtPe，0t时，0PTt，所以11tPTtPTte即为服从参数为的指数分布函数的分布函数。又因为每个12,,kTTT都为时间间隔,那么12,,kTTT都满足tPTte为的指数分布.同理每一位顾客的服务时间服从参数为的指数分布。由上面的讨论有以下结论：①顾客接受服务时间为'T，由指数分布的无后效性，则在该区间有一位顾客接受完服务离去的概率为莆田学院2001级数学本科数学与应用数学专业毕业论文4''''''|1|11tPTtTPTtTPTtPTtetot没有顾客离去的概率为1tot。②多于一个顾客到达或离去的概率为ot，可以忽略。1.3随机模型：综上，在tt时刻，系统中有n个顾客的概率nPtt满足11111111111nnnnnnnnnnnnnPttPtttPtttPtttPtttPtttPttPttotPttPttotPtPtPtt是由于假设t时间内已有n个顾客,那么11nPttt就能解释为t时间内有n个顾客，t内没一人来到也没一人离开的概率；nPttt即为t一人到来一人离开的概率；11nPttt为t时间内已有1n个顾客，t内没人到来，有一人离开的概率；11nPttt为t时间内已有1n个顾客，t内有一人到达而没人离开。由此可以得到超市服务的随机模型：11010()()()()()()()()nnnndttttdtdtttdtppppppp1,2,n2、关于服务方案问题当顾客平均到达率上升引起服务强度增加致使平均队长L太大,甚至由于1使队长趋向无限时,在平均服务率不变的情况下就只能增加服务员。下面讨论有2个服务员且他们的平均服务率相等的情况。2个服务员的排队服务有两种形式分别如下两图所示：莆田学院2001级数学本科数学与应用数学专业毕业论文5图1；图2由相关的文献资料[3]，我们可以知道，2个服务员的两种服务形式平均队长L，等待时间W之比为1122221LWLW注意到201,就人们最关心的等待时间而言有1212WW,而当222较大时图1的形式可以比图2的形式节省较多的等待时间,由此可见,对于设置多个服务员的随机过程,如果仅从等待时间角度考虑应该让顾客只排一个队。3、系统仿真3.1随机数字的产生对随机现象进行摸拟，就是对随机变量取值的模拟，也就是利用计算机产生一系列服从一定概率分布的数值。我们根据同余法递推方法[1]，取303,6,10xM，得到了本方案中所需的服从（0，1）上均匀分布的随机数。03618x118x，11810000.018r；1618108x，2108x，210810000.108r；26108648x，3648x，364810000.648r；366483888x，4888x，488810000.888r；468885328x，5328x，532810000.328r；其余类推。3.2随机变量的摸拟对于给定分布的连续型随机变量，可以利用在区间（0，1）上均匀分布的随机数来摸拟，最常用的方法是反函数法。由概率论的理论可以证明。若随机变量Y有连续的分布函数()Fy，而X是区间（0，1）上均匀分布的随机变量。令1()ZFX，则Z与Y有相同的分布，由此若已知Y的密度函莆田学院2001级数学本科数学与应用数学专业毕业论文6数fy，由1()YFX可得YXFyfydy是区间（0，1）上均匀分布的随机变量，如果给定区间（0，1）上均匀分布的随机数ir，则具有给定分布的随机数iy可由方程()iyirfydy中解出。当我们需要摸拟服从参数为的指数分布时，由01iyxiirbedxey，可得(1)ln(1)iiyr。因为(1)ir和ir同为（0，1）区间上的均匀分布的随机数，故上式可简化为(ln)iiyr。3.3服务方案的评价我们就上述2个服务员的排队系统进行摸拟仿真。在此之前，首先需要确定评定方案的标准。在这里我们将顾客在出口处逗留时间的长短作为标准，先设两个单服务员系统中服务员的服务效率相同均为，那么双服务员中服务效率为2。并假设每个顾客的服务时间在单服员系统中服从5,12上的均匀分布，那么在双服务员系统中由于服务效率提高了，假设在双服务系统中每个顾客的服务时间服从3,8上的均匀分布。以下按2.1和2.2的方法给出两个系统的仿真摸拟：1.双服务员系统：（参见附表1）双服务员系统中顾客的平均逗留时间为（等待时间+服务时间）/总人数于是平均逗留时间为：（150+20）/30=5.67分2.单服务系统1：（参见附表2）单服务系统2：（参见附表3）同样由将上述两个表格的时间进行处理单服务员系统中顾客的平均逗留时间为（等待时间+服务时间）/总人数于是平均逗留时间为：323/30=10.77分那么综上对比的情况来看,明显可以知道双服务员的优越性。结束语本方案以超市服务系统为例，得出相应的数学模型及结果，并加以仿真模拟验证，为超市确定服务方案提供了理论依据。本方法可以推广到类似服务系统，如医院排队挂号，客运售票之类的问题中，有广泛的应用前景。莆田学院2001级数学本科数学与应用数学专业毕业论文7参考文献：[1]刘来福，曾文艺．数学模型与数学建模．北京：北京师范大学出版社，2002[2]吴孟达，成礼智．数学建模的理论与实践。长沙：国防科技大学出版社，1998[3]姜启源．数学模型。北京：高等教育出版社，1993[4]复旦大学。概率论（第一册概率论基础）高等教育出版社，1979[5]高惠璇。统计计算。北京师范大学出版社，1995，北京AbstractForthesakeoftheexaltationsupermarketserviceefficiency,wearriveaccordingtothesupermarketcustomerandbasicregulationoftheserviceproblem,builtuptherandommodelofthesupermarketservicesystem,andgetathebestserviceprojectfromhere,andcarryonimitatingthetrueemulationtothemodelbuildup,verifyingtherationalityoftheincomemo