4-3不定积分基本概念

14.3不定积分的概念与性质不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质小结思考题indefiniteintegral第4章定积分与不定积分2积分变量积分常数被积函数定义4.3被积表达式不定积分.CxF)(的全部原函数的一般表达式称为函数f(x)的xxfd)(记为积分号CxFxxf)(d)(设F(x)是f(x)的任一原函数,则f(x)一、不定积分的概念1.不定积分定义3由不定积分的定义xxxfd)(结论微分运算与求不定积分的运算是如221dgtxxfd)(或或互逆的.xsind)(xfxxfd)(][dCxF)(CxF)()(xFxdd)(xF,sinCx.212Cgt4由不定积分的概念可知:(1)不定积分表示导数为被积函数的所有函数,或其微分为被积表达式的所有函数,因此决不能漏写任意常数.(2)检查不定积分的答案是否正确,进行验证.例如Cxxxxxe)1(de?应能根据]e)1([Cxxxxxe)1(exxe判断上述答案是否正确的.应用求导例求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx62.不定积分的几何意义曲线为f(x)的积分曲线.的图形是CxFy)(移动,得出的无穷多条曲线,称为f(x)的积分y=F(x)的图形是x,y平面的一条曲线,将曲线y=F(x)向平行于x轴的方向任意上下族.xyOC函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.7由于不论常数C取何值,)(])([xfCxF同一x处其导数等于f(x),各切线相互平行.有积分曲线族即xCxFy)()(xFyxyO例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy9.,0求路程函数已知物体运动速度vatvvtvatsd)(0,0时若t.2102tvats解例所以,0vattvat0221tsdd,0C则,0s000C其中C为任意常数.路程函数为10(原函数存在定理)连续函数一定有原函数.则它必有原函数.原函数存在问题],,[)(baCxf若哪些函数有原函数又如何求其原函数原函数是否必为连续函数dxxgxf)]()([;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）二、不定积分的性质性质4.612xxkfd)(.d)(xxfk性质4.6与性质4.7称为线性性质.思考:k=0,等式是否成立?k是非零常数,则性质4.7设f(x)的原函数存在,实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(三、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxlnxxdsh)14(Cxchxxdch)15(Cxsh熟记17例求积分.d2xxx解xxxd2xxd25Cx1251252772xCxxx1d1出一些简单函数的不定积分,称为利用不定积分的性质和基本积分公式,可求由公式直接积分法..C例求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C例求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx例求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.xxxdcossin122解xxxdcossin122xxdcos12xtan例xxxdcossin22xxdsin12xcotCxx22cossin例已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxyxxxd2cos1cos1xxxdsin2cos12xxxxd)csccotsin1(212Cxx)csccot(21xxxd1122xxdtan2xxd2sin2xxxd11222xxd)1(sec2xxd2cos1基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、小结应先将绝对值符号化掉,0,0,||xexeexxx即将|x|化作分段函数:思考题xexd||求解所以上连续由于这个分段函数在,),(.原函数存在xexd||.,21为任意常数其中CC因此在x=0处必连续,21C122CC故0,20,d11||xCexCexexxx由于原函数可导,所以原函数必定连续,于是有11C0,0,21xCexCexx作业习题4-3(113页)1.(5)(9)(13)(15)(21)(22)2.3.