定积分的基本概念

《高等数学》教案高等数学第1页教学内容方法与手段定积分的概念大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分为三个内容：定积分概念引入定积分的定义定积分的几何性质首先我们来看第一部分一、定积分概念引入说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢？我们先看一个例子。1曲边梯形的面积问题：我们知道矩形面积：Sah梯形的面积：()2abSh曲边梯形的面积：设()yfx在区间[a,b]上非负连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()yfx所围成的面积。那么这样的问题怎么求呢？首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。好，现在我们将[a,b]区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似？我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯《高等数学》教案高等数学第2页进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。解决步骤：大化小：在区间[a,b]中任意插入n−1个分点a=x0x1x2⋯xn−1xn−1=b，用直线x=xi将一个曲边梯形分成n个小的曲边梯形；常带变：在第k个窄边梯形上任取ξk∈[xk−1,xk]作以[xk−1,xk]为底，f(ξk)为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆Sk，得∆Sk≈f(ξk)∆xk(∆xk=xk−xk−1,k=1,2,⋯n)近似和：S=∑∆Sknk=1≈∑f(ξk)∆xknk=1取极限：令𝜆=𝑚𝑎𝑥{∆𝑥1,∆𝑥2⋯,∆𝑥𝑛}S=lim𝜆→0∑∆𝑆𝑘𝑛𝑘=1=lim𝜆→0∑f(𝜉𝑘)∆𝑥𝑘𝑛𝑘=1这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()vvt在区间[1T,2T]上t的连续函数，且()0vt，求在这段时间内物体所经过的路程s。考虑：当()0yfxC，()0vvtC时（其中C为常数），上面问题的求解。在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。解决步骤：大化小：在区间[1T,2T]中任意插入n−1个分点T1=t0t1t2⋯tn−1tn−1=T2，将其分成n个小段[tk−1,tk](k=1,2,⋯n)，在每个小段物体经过的路程为∆sk(k=1,2,⋯n)；详讲总结《高等数学》教案高等数学第3页常带变：任取ξk∈[tk−1,tk]，以v(ξk)代替第k个时间段的速度，则：∆𝑠𝑘≈v(𝜉𝑘)∆𝑡𝑘(∆𝑡𝑘=𝑡𝑘−𝑡𝑘−1,𝑘=1,2,⋯𝑛)近似和：s=∑∆𝑆𝑘𝑛𝑘=1≈∑v(𝜉𝑘)∆𝑡𝑘𝑛𝑘=1取极限：令𝜆=𝑚𝑎𝑥{∆𝑡1,∆𝑡2⋯,∆𝑡𝑛}s=lim𝜆→0∑∆𝑠𝑘𝑛𝑘=1=lim𝜆→0∑v(𝜉𝑘)∆𝑡𝑘𝑛𝑘=1问题的共性：解决问题的方法步骤相同：“大化小，常代变，近似和，取极限”所求量的极限结构式相同：特殊乘积和式的极限，下面我们从数学的角度对其做个总结就可以得到其定积分定义。二、定积分的定义1定义：设函数f(x)在[a,b]上有定义，在[a,b]中任意插入n−1个分点a=x0x1x2⋯xn−1xn=b，把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x0,x1],⋯,[xn−1,xn]，各个小区间的长度依次为：∆x1=x1−x0,∆x2=x2−x1,⋯∆xn=xn−xn−1在每个小区间[xk−1,xk]上任取一点ξk，作函数值f(ξk)与小区间长度∆xk的乘积分f(ξk)∆xk(k=1,2,⋯n)，并做和数。𝐼𝑛=∑f(𝜉𝑘)∆𝑥𝑘𝑛𝑘=1在每个记λ=max{∆x1,∆x2⋯,∆xn}，如果不论[a,b]怎么分法，也不论[xk−1,xk]上ξk怎么取法，只要当λ→0时，和数In总趋于确定的极限I,则称这个极限值I为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作∫f(x)badx。∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥=𝐼=lim𝜆→0∑f(𝜉𝑘)∆𝑥𝑘𝑛𝑘=1其中称[a,b]为积分区间，a为积分下限，b为积分上限，x为积分变量；称f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。积分符号呢？就像一个拉长的S。《高等数学》教案高等数学第4页我们要求一个定积分∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥，对曲边梯形来说就是求他的面积，对匀变速直线运动来说就是他的路程，也就是要求后面这个和式的极限，那么什么情况下这个极限存在呢？有两个定理，具体的证明，可以参考数学分析。定理1设𝑓(𝑥)在区间[a,b]上连续，则𝑓(𝑥)在[a,b]上可积。定理2设𝑓(𝑥)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则𝑓(𝑥)在[a,b]上可积。也就是我们的∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥被积函数，要么连续，要么有界且有有限个间断点，那么lim𝜆→0∑f(𝜉𝑘)∆𝑥𝑘𝑛𝑘=1这样的极限就一定存在。下面我们看一个例子，做个练习。例利用定义计算定积分∫x210dx。首先，根据定理1，这个定积分是可以求出来的。分析：定积分的定义说的什么呢？给一个被积函数，给一个积分区间，也就是积分上下限，我们可以转化的求一个和式的极限。对于这个问题，我们的被积函数是？积分区间是？根据定积分的定义我们也就是要求limλ→0∑ξk2∆xknk=1，又由于定积分定义说不论我们怎么个分法，我们不妨将其n等分，那么∆xk等于多少呢？由于在[0,1]我们很容易算出∆xk=1n，我们把[0,1]区间n等分，那么第k个区间在是什么，是不是[k−1n,kn]，定积分定义还告诉我们ξk是在第k个区间[xk−1,xk]的任意一个取法，那么我们不妨取区间的右端点，即ξk=kn，好，那么我们看看现在要求的问题变成了什么limλ→0∑(kn)21nnk=1，我们观察这个极限，λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n等分，λ=1n→0，其实就是n→+∞，limn→+∞∑(kn)21nnk=1，要求这个极限我需要先求∑(kn)21nnk=1，化简一下可以得到1n3∑k2nk=1，∑k2nk=1=？，∑k2nk=1=16n(n+1)(2n+1)，limn→+∞∑(kn)21nnk=1=limn→+∞n(n+1)(2n+1)6n3=13。这样我们就求出了定积分的值。思考如果我们不知道《高等数学》教案高等数学第5页这个定积分到底存不存在？对于这个问题我们如何求？这个留给大家下去去做，如果会求，也许你能总结出定积分存在的充分必要条件。下面我们开始学习定积分的几何意义，也有同学可能会说，教员这个我知道，前面不是说了啊，就是被积函数，与积分区间，还有y=0围成的面积啊。注意我们前面求的曲边梯形的面积是假设这个函数是大于等于0的。好下面我们就讨论一下一般情况。三、定积分的几何性质我们已经知道对于∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥，当𝑓(𝑥)≥0时，就是𝑓(𝑥)、x=a、x=b和y=0所围成的面积。那么当𝑓(𝑥)0时呢？可以根据定义，做个简单的推导，就可以知道∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥的几何意义就是围成面积的负值。下面我们看这样一个定积分：A1,A2,A3，A4对应其各个区域块围成的面积，那个这个积分值是？Y=0上面的面积和-Y=0下面的面积和，也就是：（A2+A4）-（A1+A3）思考：奇函数对称积分区间的几何特征和积分值，还有偶函数在对称积分区间的几何特征和积分值。好，这就是我们这一节课的内容，下一节课我们介绍定积分的性质。