3.2直线方程

在直角坐标系中确定一条直线需要什么条件？•直线上的任意两个不同点•直线上一点和倾斜角•直线上一点和斜率我们用给定的条件，将直线上所有点的坐标满足的关系表示出来——直线方程2.过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线斜率1212xxyyk1.直线的倾斜角与斜率k的关系tank)90(0表示直线倾斜程度的几何量【思考1】直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k，斜率k000xxxxyykyo),(000yxP),(yxPlx点P(x,y)是直线l上不同于P0的任意一点，当点P(x,y)在直线l上运动时，有什么是不变的？________【思考2】直线l任意一点都满足方程吗？00xxyyk定点P0(x0,y0)不满足方程变形得:____________________(1))(00xxkyy则直线l上的任意一点都满足方程(1)yo),(000yxP),(yxPlx0xx(一)直线的点斜式方程0,00yxPyxO斜率k由直线上的______和________确定的，一定点斜率简称点斜式。)(00xxkyy(1)已知直线l1的点斜式方程是那么此直线的斜率为____,倾斜角为____.1353033)1(332xy-1右端x系数——斜率k(2)已知直线l2的点斜式方程是y-2=-(x+1)，那么此直线的斜率为____,倾斜角为_____.)(00xxkyy直线l1、l2同时经过哪个定点？(1,2))1(2xky必过哪个定点？【思考4】直线的点斜式方程能表示平面上所有直线吗？)(00xxkyyx轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？0y0x【例1】直线l经过点P0(-2,3)且倾斜角求直线l的点斜式方程，并画出直线l。45y=kx+b斜率y轴上的截距系数为1写出下列直线的点斜式方程(1)经过点A(3,-1)，倾斜角是30°(2)经过点C(0,-2)，斜率是3kP(0,b))3(331xy)0(32xy23xy(二)直线的斜截式方程bP,00yxO斜率k由直线上的______和_______________在y轴上的截距b斜率k确定的，简称斜截式。bkxy0,00yxP【思考7】下列直线:y=x-4，y=3x,在y轴上的截距分别是__________。1-40Oxy1-4OxyxyO截距是距离吗?不是，它是直线与y轴交点的纵坐标在y轴上的截距b——当x=0时，y=by+1=-2(x-1)，斜截式方程与我们学过的一次函数的表达式类似。一次函数的图像是一条直线。bkxy如何从直线方程的角度认识一次函数一次函数中的k和b的几何意义是什么？)0(kbkxy斜截式与一次函数y=kx+b形式一样，但有区别。当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表现形式。1.经过点A(3,－1)，斜率为2的直线的点斜式方程为，在y轴上的截距为______________3.经过点B（－,2）,倾斜角为30°的直线的斜截式方程为.2.斜率是,在y轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为.322121kk21//ll21ll21kk21bb,且例3:已知直线，试讨论：(1)的条件是什么？(2)的条件是什么？21//ll222111::bxkylbxkyl，21ll222111::bxkylbxkyl，结论:练习（P95第4）:判断下列各对直线是否平行或垂直。（1）（2）;221:,321:21xylxyl.53-:,35:21xylxyl平行垂直【思考】试推测有什么特点？在同一直角坐标系中画出下列直线,试观察下列直线的特点。42:1xylxyl2:212:3xyl12:4xyl42:5xylk2xyyxo表示斜率为2的一系列平行直线.【思考】试推测有什么特点？在同一直角坐标系中画出下列直线,试观察下列直线的特点。2:1yl2:2xyl2:3xyl23:4xyl23:5xyl2kxyyxo2这一系列直线均过定点(0,2)无论k取任何常数，下列方程所表示的直线必过定点吗？11kxy232kkxy)0(1xky)1,0()3(2xky)2,3(yo),(000yxPlx【思考1】观察下列直线用什么直线方程来表示？【思考2】它能否表示所有过P0的直线？)(00xxkyy特点：必过定点),(000yxP0xxyo),(000yxPlx结论：过定点P0的直线分为两种情形：⑴斜率不存在时，⑵斜率存在时，0xx)(00xxkyy点斜式方程的重要应用①过点(2,1)且平行于x轴的直线方程为____________②过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为___________③过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为______④过点(1,1)且与直线y＝2x＋7垂直的直线方程为______1y2x12xy2321xy_______________。___________。___________。00xxkyybkxy斜率k存在（1）点斜式方程的形式是（2）斜截式方程的形式是（3）两者适用范围是所需条件：点和斜率所需条件：斜率和在y轴上的截距代入(0,b)（4）过点P0(x0,y0)且斜率不存在的直线方程是___________0xx在直角坐标系中确定一条直线需要什么条件？•直线上的任意两个不同点•直线上一点和斜率00xxkyy•直线在y轴上的截距和斜率bkxy斜率k存在已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2），如何求出通过这两点的直线方程呢？直线l斜率是什么？结合点斜式直线l的方程如何？(一)直线的两点式方程121121xxxxyyyy),(2121yyxx由直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)确定的，简称两点式。【思考】是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？不是!当x1＝x2或y1=y2时，直线P1P2没有两点式方程(一)直线的两点式方程121121xxxxyyyy),(2121yyxx由直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)确定的，简称两点式。两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．1.x1=x2，则直线P1P2的方程2.y1=y2，则直线P1P2的方程1xx1yy例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.xlBAOy1xyab直线在x轴的截距ab直线在y轴的截距令y=0令y=0(二)直线的截距式方程1xyab由直线在x轴和y轴的截距确定，简称截距式横、纵截距都存在且都不为0的直线.过原点的直线方程能用截距式表示吗？1.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.2.求符合条件的直线方程(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2；(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；截距m相等0,mxym0,mykx距的绝对值相等的直线方程(三)中点坐标公式已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，线段P1P2的中点坐标1212(,)22xxyy例2三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.xyO.MB.A..Cb表示.kx可以用yD.经过定点的直线都1表示;byax都可以用方程C.不经过原点的直线)表示;y)(yx(x)x)(xy都可以用方程(y)的点的直线y,(xP),y,(xPB.经过任意两个不同)表示;xk(xy方程y)的直线都可以用y,(xA.经过定点P)题是(下列四个命题中的真命12112122211100000练习B直线方程有几种形式？点斜式斜截式两点式),(2121121121yyxxxxxxyyyy截距式0,1babyax二元一次方程)(00xxkyybkxy适用于斜率存在的情形【思考】直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，这些方程所属的类型是什么？1.平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式吗？2.关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0），当B≠0时，方程表示的图形是什么？当B=0时，方程表示的图形是什么？五种形式的直线方程点斜式斜截式两点式),(2121121121yyxxxxxxyyyy截距式0,1babyax)(00xxkyybkxy适用于斜率存在的情形一般式0CByAx(A,B不同时为0)适用于平面内所有直线例1、已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.34对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.例2、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.如何由直线的一般式方程Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐标轴上的截距？求直线的斜率将一般式方程Ax+By+C=0化为斜截式方程y=kx+b直线在x轴的截距直线在y轴的截距令y=0求x的值令x=0求y的值直线的一般式方程:Ax+By+C=0（A，B不同时为0）在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线为：(1)平行于x轴(2)平行于y轴(3)与x轴重合(4)与y轴重合A=0B=0A=0且C=0B=0且C=01、已知直线l的方程是Ax+By+C=0,(1)当,直线l的斜率是多少?当B=0时呢?(2)系数A,B,C取什么值时,方程Ax+By+C=0表示通过原点的直线练习0B2、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（）(A)A·B0,A·C0(B)A·B0,A·C0(C)A·B0,A·C0(D)A·B0,A·C0C=0,A,B不全为0C设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列条件确定m的值：（1）l在x轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.先考虑斜率存在的前提！！与直线l：Ax+By+C=0平行的直线方程可设为与直线l：Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为例2经过点A（2，-3）与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为-----------------------------；Ax+By+C1=0Bx-Ay+C2=0例1经过点A（2，-3）与直线2x+y-5=0平行的直线方程为-----------------------------；已知直线222111::bxkylbxkyl，求下列情形满足的条件。1l与重合2l1l与平行2l1l与垂直2l1l与相交2l1212kkbb且1212kkbb且121kk12kk0021BB，0:0:22221111CyBxAlCyBxAl，12121212AACCBBBB且12121AABB12120AABB1221122100ABABACAC且0021BB，1221122100ABABACAC且12210ABAB两条直线的几种位置关系直线方程位置关系重合平行垂直相交111222::lykxblykxb1111222200::lAxByClAxByC1212kkbb且1212kkbb且121kk12kk1221122100ABABACAC且1221122100ABABACAC且12120AABB12210ABAB例