数学：24.1圆-24.1.2垂直于弦的直径课件(人教新课标九年级上)

问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆的对称性及特性圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性●O如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE弧：,ACBCADBD把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，，分别与、重合．ACADBCBD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒·OABCDEAE＝BE，，ACBCADBD即直径CD平分弦AB，并且平分及ABACB垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒⌒⌒⌒⌒（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径定理的推论如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理及逆定理●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.垂径定理的应用例1如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为老师提示:注意闪烁的三角形的特点.解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中AB例2：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．AB⌒AB⌒AB⌒2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是=，OABP24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．活动三3．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分练习3:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。10DCEOAB反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO例3：如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。DCEOAB垂径直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.例4：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16㎝，求AE-BF的长。练习4:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。GEFAOBCDEDOCAB图中相等的线段有:驶向胜利的彼岸挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.FEOMNABCDOAB60在直径是20cm的中，的度数是，那么弦AB的弦心距是.DABO53cm⌒弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.DCABO134cmOO3cm已知P为内一点，且OP＝2cm，如果的半径是，那么过P点的最短的弦等于.EDCBAPO25cm船能过拱桥吗1.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？相信自己能独立完成解答.做一做垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.做一做BAOED┌600小结直径平分弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弧所对的弦直径平分弧直径垂直于弧所对的弦==１、圆的轴对称性２、垂径定理及其逆定理的图式今日作业