空间向量及几何公式

1/4空间向量及几何公式118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,xy,使paxby．推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,xy,使MPxMAyMB，或对空间任一定点O，有序实数对,xy，使OPOMxMAyMB.119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当1k时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当1k时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．CAB、、、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC(1)ODxyOAxOByOC（O平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.121.射影公式已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影'A，作B点在l上的射影'B，则''||cosABAB〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐标运算设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb则(1)a＋b＝112233(,,)ababab；(2)a－b＝112233(,,)ababab；(3)λa＝123(,,)aaa(λ∈R)；(4)a·b＝112233ababab；123.设A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则ABOBOA=212121(,,)xxyyzz.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)axyzr，222(,,)bxyzr，则abrrP(0)abbrrrr121212xxyyzz；abrr0abrr1212120xxyyzz.125.夹角公式设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则cos〈a，b〉=112233222222123123abababaaabbb.推论2222222112233123123()()()abababaaabbb，此即三维柯西不等式.126.四面体的对棱所成的角2/4四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则2222|()()|cos2ABCDBCDAACBD.127．异面直线所成角cos|cos,|abrr=121212222222111222||||||||xxyyzzababxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,abrr分别表示异面直线ab,的方向向量）128.直线AB与平面所成角sin||||ABmarcABm(m为平面的法向量).129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,AB、为ABC的两个内角，则2222212sinsin(sinsin)sinAB.特别地,当90ACB时,有22212sinsinsin.130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,''AB、为ABO的两个内角，则222'2'212tantan(sinsin)tanAB.特别地,当90AOB时,有22212sinsinsin.131.二面角l的平面角cos||||mnarcmn或cos||||mnarcmn（m，n为平面，的法向量）.132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则12coscoscos.133.三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos;1212||180()(当且仅当90时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则,ABd=||ABABAB222212121()()()xxyyzz.135.点Q到直线l距离221(||||)()||hababa(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).3/4136.异面直线间的距离||||CDndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).137.点B到平面的距离||||ABndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.138.异面直线上两点距离公式2222cosdhmnmn.222'2cos,dhmnmnEAAF.2222cosdhmnmn（'EAAF）.(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段'AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，'AEm,AFn,EFd).139.三个向量和的平方公式2222()222abcabcabbcca2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理'cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的为).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c和1S,则①1Scl斜棱柱侧.②1VSl斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2VFE(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：12EnF；4/4（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：12EmV.146.球的半径是R，则其体积343VR,其表面积24SR．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.148．柱体、锥体的体积13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.