初中数学变式题

齐齐哈尔市第二十三中学校王晓珍•数学习题的变式教学对于数学概念的外延教学将起着十分重要的作用，对于学生巩固基础知识，深化概念的理解及培养数学思维习惯起着至关重要的作用。例：如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE=DCDBECA本题源自人教版八年级上册课本第58页第11题。考查等边三角形、三角形全等的知识，考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能。此题潜在价值很大：可以添加探索新结论；可以改变条件，探索结论；可以通过图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；也可以把正三角形改为直角三角形、等腰三角形以及任意三角形、甚至正方形等。这样的借题发挥，加深知识间的联系，融会贯通,使学生获得一种如沐春风的感觉。•变式一：问题情境不变、增加探究结论：（1）求证：BE=DC（2）猜想直线CD与直线BE的夹角DBECA•变式二：给出新的结论，探究合适条件的图形：如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,ACE,BCF（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？③当△ABC满足什么条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在？DBECAFDBECA将两个全等的等腰直角三角形重叠在一起，一个直角三角形固定，另一个直角三角形绕直角顶点旋转，旋转后把对应顶点连接，得到两个三角形.变式三：ADCBE变式四：等腰三角形变式五：直角三角形变式六：任意三角形ABCDE变式七：相似的不等边三角形将两个相似的不等边三角形一个对应顶点重合，一个三角形固定，另一个三角形绕这个顶点旋转，旋转后把对应顶点连接，得到两个三角形.变式八：正方形已知：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证:（1）AE=CG；（2）AN·DN=CN·MNABCDEFGMN例题：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？分析：本题是一个典型的工程类应用题（一）、工程问题中三个基本量是：1.工作量、工作时间、工作效率；2.这三个基本量的关系是：工作量=工作时间×工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作时间=工作量÷工作效率3.工作总量通常看作单位“1”（二）、相等关系：甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量解：设两人合作x小时完成此工作，依题意可得：+=1解之得：x=7.5答：两人合作7.5小时完成。20x12x变式一：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？分析1：此工作分两步完成的，故有相等关系：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量解法一：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：+（+）·x=1解之得：x=6答：两人合作还要6小时完成。204201121分析2：此工作由甲、乙两人完成的，故有相等关系：甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量解法二：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：+=1解之得：x=6答：两人合作还要6小时完成.204x12x•变式二：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？分析:本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量，故由此易建立方程：+（+）·x=解法：略20420112132•变式三：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？分析：本题目在前者的基础上改变了未知量，弄清问题中是总的时间，是要特别注意的。相等关系：甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量解：设共需x小时完成此工作，依题意可得：+=解之得：x=7.5答：共要7.5小时完成此工作的2/3。20x124x32•变式四：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。相等关系：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量解：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：+=1解之得：x=6答：两人合作还要6小时完成。2045.7x•变式五：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。甲先单独完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量.解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：+（－）·x=1解之得：x=9.6答：乙还要9小时36分完成。2045.71201•变式六：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？分析：此题涉及到前面几个题目中的变化，且完成方式更为复杂化。但明确等量关系仍然不变：（1）此工作分三步完成的，故有：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量（2）此工作由甲乙二人完成的，故有：甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量类比前面变式练习便可解出此题：解法1：设共需x小时完成此工作，依题意可得：4/20+2×（2/5÷3）+（x-4-2）（2/5÷3-1/20）=1解之得：x=12.4答：共要12小时24分钟完成此工作。解法2：设共需x小时完成此工作，依题意可得：（4+2）/20+（x－4）（2/5÷3-1/20）=1解之得：x=12.4答：共要12小时24分钟完成此工作。•反思：通过设计变式练习，可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开了综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成“析问题，抓本质”的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。•例1:在半径为5的⊙O中，弦AB的长为8，且点P在AB上，求OP长度的取值范围。•变式题1:在半径为5的⊙O中，弦AB的长为4，且点P在AB上，若OP长度为整数，则这样的点P有___个。•变式题2:点P在半径为5的⊙O中，若OP长为3，则经过点P的所有弦中，弦长为7的弦有___条，弦长为8的弦有___条，弦长为9的弦有___条。•变式题4:在半径为5的⊙O中，梯形ABCD内接于⊙O，且AB∥CD，若AB＝8，梯形的高为1，则CD的长为____________。•变式题3:在半径为5的⊙O中，弦AB与CD平行，若AB＝8，CD＝6，则AB与CD之间的距离为____________。•变式题5:如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，CD＝6，则图中阴影部分的面积为____________。BODCA