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第1页共7页矩阵理论10设3R的两组基为()()()TTT111,112,101321==−=ααα和()()().121,011,110321TTT=−==βββ1.求从基{}321ααα到基{}321βββ的过渡矩阵。2.求向量32132αααα−+=在基321,,βββ下的坐标。设T为n维欧氏空间V的线性变换，则下列条件等价：1.T是正交变换；2.T保持向量的长度不变，即对任意ααα=∈TV,；3.如果nεεε,,,21Λ是V的标准正交基，则nTTTεεε,,,21Λ也是标准正交基；4.T在任意一组标准正交基下的矩阵式正交阵。设A为n阶正规矩阵。1.A是Hermite矩阵当且仅当A的特征值均为实数；2.A是反Hermite矩阵当且仅当A的特征值是零或者纯虚数；3.A是酉矩阵当且仅当A的每个特征值的模长均为1。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=311202113A的若当标准型J及可逆矩阵P使得JAPP=−。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111011001A的QR分解。在酉空间nC中，对任意()nnCxxx∈=,,,21Λα，定义()nixi≤≤=∞1,maxα，证明∞α是nC中的向量范数。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311111002A，计算Ae和Asin。 !( K 15') o mR4 |˜(I):α1,α2,α3,α4 (II):β1,β2,β3,β4 vα1+2α2=β3,α2+2α3=β4,β1+2β2=α3,β2+2β3=α4.(1)d˜(I) ˜(II) L ;(2) α=2β1−β2+β3+β43˜(I)e I. !( K 15') ε· … mV¥ ,‰´C AǑAα=α−2(α,ε)ε,α∈V,y†A· C .n!( K 15') AǑn 5 .y†:(1)A·Hermite , = A AÆ ·¢Œ;(2)A·j , = A z AÆ ·1.o!( K 15') A=1230021−11021 ').˚!( K 15') A=3083−16−20−5.(1)A Cˇf! ˇf;(2)A e IO. J,¿ _ P P−1AP=J.8!( K 15') A=2001111−13, ' §|dX(t)dt=AX(t) v ^ X(0)=(1,1,1)′ ). !( K 10') α∈Cn,y†:(1)kαk2≤kαk1≤√nkαk2;(2)kαk∞≤kαk2≤√nkαk∞.第2页共7页矩阵理论08设nααα,,,21Λ及nβββ,,,21Λ是n维线性空间V的两组基，且V的每个向量在这两组基下的坐标完全相同，证明：niii,,2,1,Λ==βα。设T是3R上的变换，且其定义如下：对任意的()3321,,Rxxx∈，()()13221321,,2,,xxxxxxxxT+−=。1.证明T是线性变换；2.求T在3R的基()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1321===εεε下的矩阵。证明：正规阵A是Hermite阵，当且仅当A的特征值全为实数。求线性方程组0032532154321=+−+=−+−+xxxxxxxxx的解空间的一组标准正交基。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=502613803A的不变因子、初等因子基若当标准型矩阵。设A为n阶方阵，证明：1.A的特征值全为零当且仅当存在正整数m使得0=mA；2.若存在正整数k使得0=kA，则行列式1=+EA。设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=10001iiiiA，试求一酉矩阵T使得ATTH为对角矩阵。证明：若nC∈α，则212αααn≤≤。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A，计算Ae和Asin。设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=122211212101A，求A的满秩分解。第3页共7页矩阵理论07设3R的两组基为()()()TTT111,112,101321==−=ααα和()()().121,011,110321TTT=−==βββ1.求从基{}321ααα到基{}321βββ的过渡矩阵。2.求向量32132αααα−+=在基321,,βββ下的坐标。证明：任意可逆矩阵A的逆矩阵1−A可以表示为A的多项式。设ε是欧氏空间V中的一个单位向量，定义变换T为()εεααα,2−=T，证明T是正交变换。设()jiA,为n阶Hermite矩阵，则下列条件等价1.A是正定的；2.A的特征值全为正数；3.存在可逆矩阵B，使得BBAH=;4.存在可逆矩阵C，使得EACCH=。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=211367233A的初等因子、若当标准型J及可逆矩阵P使得求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=031251233A的最小多项式。设•是mC和nC上的同类向量范数，nmCA×∈，定义ααAA1max==，则A是和已知的向量范数相容的矩阵范数。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311111002A，计算Ae和Asin。第4页共7页矩阵理论06设4维线性空间V中的两组基（I）4321αααα和（II）4321ββββ满足4323214323212222αββαβββααβαα=+=+=+=+1.求由基（I）到基（II）的过度矩阵2.求向量43212ββββα++−=在基（I）下证明：任意可逆矩阵A的逆矩阵1−A可以表示为A的多项式。设ε是欧氏空间V中的一个单位向量，定义变换T为()εεααα,2−=T，证明T是正交变换。设A为n阶正规矩阵。1.A是Hermite矩阵当且仅当A的特征值均为实数；2.A是反Hermite矩阵当且仅当A的特征值是零或者纯虚数；3.A是酉矩阵当且仅当A的每个特征值的模长均为1。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=211212112A的若当标准型J及可逆矩阵P使得JAPP=−1并写出A的不变因子和初等因子求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=031251233A的最小多项式。第5页共7页矩阵理论05已知3R中的线性变换T在基()()()1,1,0,1,0,1,1,1,1321=−=−=εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121011101A，求T在基()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1321===ηηη下的矩阵。已知()3CLT∈，T在基321,,εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=284014013A，试求（1）A的特征值和特征向量；（2）T的特征值和特征向量。设321,,ααα是三维欧氏空间的一组标准正交基，求V的一个正交变换T，使得32123211323132313232αααααααα+−=−+=TT设V是n维欧氏空间，α为V中一个取定的非零向量，证明：（1）(){}VxxxV∈==,0,1α是V的子空间；（2）1dim1−=nV。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A的若当标准型J，并求相似变换阵P使得JAPP=−1。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101011110A的QR分解。设矩阵A可逆，λ是A的任意一个特征值，证明：对任意范数⋅，11−≥≥AAλ。利用矩阵函数求定解问题()()TXAXdtdX1,1,10==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=211102113A()()()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=txtxtxX321的解。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111032301A，求+A。第6页共7页矩阵理论04已知3R中的线性变换T在基()()()1,1,0,1,0,1,1,1,1321=−=−=εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121011101A，求T在基()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1321===ηηη下的矩阵。设T是复数域C上的3维线性空间V上的线性变换，已知T在V的一组基321,,εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=284014013A，试求（1）A的特征值和特征向量；（2）T的特征值和特征向量。设321,,ααα是三维欧氏空间的一组标准正交基，求V的一个正交变换T，使得3211313232αααα−+=T。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=211212112A的若当标准型J，并求相似变换阵P使得JAPP=−1。证明：A满足EAA22=+，证明：A可以相似对角化。解微分方程()()20,13410,1222121211=−+==++=xxxdtdxxxxdtdx隔离矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=iA102111048.0520的特征值。第7页共7页矩阵理论03在n维线性空间V中，设有线性变换T和向量V∈ξ使得01≠−ξkT，但0=ξkT，求证T在某组基下的矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛01000001000010000ΜΟΜΜΜΛΛΛ。设321,,ααα是三维欧氏空间的一组标准正交基，求V的一个正交变换T，使得3211313232αααα−+=T。证明：反对称的实矩阵的特征值是零或纯虚数。设A为n阶方阵，证明：1.A的特征值全为零当且仅当存在正整数m使得0=mA；2.若存在正整数k使得0=kA，则行列式1=+EA。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111001A的奇异值分解。设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311111002A，求微分方程组()()tAXdttdX=满足初值条件()()Tt1,1,10=的解。设nCX∈，证明：（1）212XnXX≤≤；（2）∞∞≤≤XnXX1；（3）∞∞≤≤XnXX2；（4）12XXX≤≤∞。12002 ET%= &‘, CH1.[15 ]TAR3; 53 X9N 8W (x1,x2,x3)∈R3,T(x1,x2,x3)=(2x1−x2,x2+x3,x1).(1)d0TAOS (2)6T^R3 ε1=(1,1,0),ε2=(1,0,1),ε3=(0,1,1)N &‘ 2.[10 ]α=(x1,x2,...,xn)A D℄C; nMRP) d0(1)kαk∞≤kαk2≤√nkαk∞;(2)kαk∞≤kαk1≤nkαk∞.3.[15 ]&‘A= 101011000 4Yf # 4.[15 ]A= 3083−16−20−5 .(1)6A Zh Zh (2)6A : gQ&‘J, 6’1&‘P P−1AP=J.5.[15 ]ALn ‘ d0(1)A Gaf7L+ 5$ Æ^bDm Am=0;(2):Æ^bDk Ak=0,_R*?|A+E|=1.6.[10 ]Ve&‘A=−3−120!,C6J dX(t)dt=AX(t)-i fIX(0)=−11! # 7.[10 ]A=(aij)Ln ‘ λ1,λ2,...,λnAA F\Gaf (1):AL ‘ _AA[&‘ 5$ . i,|λi|=1;(2):AL /G&‘ _A 5$ Æ^ &‘B A=B2.8.[10 ]d0 2B( 8Uh( V1Æ^KU ! V⊥1.12001^dbg_a ‘h℄f e1.3e1,e2,...,en ǫ1,ǫ2,...,ǫn8nBG$ V %[ ,V ) D&OQ%[ A \ =.C V* ei=ǫi,i=1,2,...,n.[10 ]2.3T8R32 ,+ K0A /J (x1,x2,x3)∈R3,T(x1,x2,x3)=(2x1−x2,x2+x3,x1).(1)V*T8BG (2)-TOR3 ǫ1=(1,0,0),ǫ2=(0,1,0),ǫ3=(0,0,1)A #R [10 ]3.V* U RA8HermiteR , A ;SX.?5: [10 ]4.-BG [(2x1+x2−x3+x4−3x5=0x1+x2−x3+x5=0!$ H[ YU [10 ]5.-#RA= 3083−16−20−5 LZ LZ 1 YE#R [10 ]6.3A?n R V* (1)A ;SX.?( , ÆOUT:m6 Am=0;(2)1ÆOUT:k6 Ak=0,PF’7|A+E|=1.[10 ]7.IW#RA=1221!,