12工程电磁场分析的数理基础2

1.5场向量的微分方程-波动方程•MAXWELL微分方程组，在数学上–多重耦合、–多变量、–求解困难.•一般先导出由单个场向量所给定的解耦的微分方程。–由MAXWELL方程组导出由场向量H、B、E、D或J所满足的偏微分方程。无源区域（0,0＝J）的一般化齐次波动方程：0222EBHtt理想介质（0）中的波动方程：正弦稳态时变场中的波动方程：采用时间相位因子tje，则222,tjt，波动方程为0)(22EBHk其中k为波数，2k，为波长。0222EBHtH的导出方程：•对于线性、均匀且各向同性媒质，设场域中无自由电荷，则由式（1-1）取旋度，并以：J=gE代入，便得tHE–由于–代入（1-27），即得•同理可证•式（1-28）、（1-29）就是由一个场分量（H、B、E、D）所描述的一般齐次波动方程。•在特定情况下，基于以上各场分量的导出方程可进一步分别归结为：–(1)理想介质（g=0）中的电磁波方程（波动方程）–(2)良导电媒质（g）中的涡流方程（扩散或热传导方程）–(3)正弦稳态时变场中的涡流方程（相量形式的扩散或热传导方程）–(4)没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程）–(5)没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）1.6位函数的微分方程---位函数和波方程–一个场向量的微分方程对应于三个标量微分方程。即在任一场点上，待求的自由度数是三个，因此离散化后的自由度数是相当可观的。–为减少待求自由度数，提高计算效率，同时，也为了简化概念，构造简便的数学模型，引入和应用各种电磁场位函数。(有源）位函数•引入多种辅助函数，即位函数（如电位），然后由源（如电荷）求位函数，再由位函数计算电场或磁场。•位函数有：–矢量位A，–标量位f，–赫兹（Herz）矢量位P•位函数定义如下(周希朗）0:,:,:::::**********ffPfPPPfPPfffftALorentztAtAtAEtAEADAABA条件赫兹磁位赫兹电位标量磁位标量电位矢量电位矢量磁位•可以证明，位函数满足以下形式的微分方程MttPtttJtAA*2*2*2222222222PPPPPPff因上各式的解为波函数，因此也称它们为波（动）方程。•在无源无耗区，赫兹位满足以下方程002*2*2222ttPPPP由赫兹位计算电场和磁场的公式为PPPPPtHtE**在直角坐标系中，矢量位的三个分量均满足波动方程；在柱坐标系中，矢量位的z分量满足波动方程；在球坐标系中，矢量位的所有分量均无法满足波方程。分量为赫兹磁位的分量为赫兹电位的为磁德拜位为电德拜位式中rrrrmrernemrmerePPPP,,,,故在球坐标系中，引入德拜（Deby）位，1.6.1动态场中的动态位方程•由任意向量旋度的散度与任意标量梯度的旋度均恒等于零，对动态电磁场，可验证有以上两式分别定义了：–动态向量位函数A(r,t)–动态标量位函数j(r,t)它们自动满足MAXWELL方程组中（1-3）和（1-2）。•但须知，引入位函数表示场量B和E，含有任意性的成分。–因为如果令–则可给出同样的B和E。•位函数按照式（1-37）和（1-38）的变换，称为规范变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。•由于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的值，可以有无穷多组A和j的取值，即位函数不是唯一的。•任意性可以导致随意规定，要采用规范对A的散度施加约束条件。•规范的选择原则：–１）唯一地确定相应的位函数值，–２）可简化相应的位函数方程。•通常，对自由空间中的动态电磁场，引入如下的洛仑兹规范：•由此可导出简单而且对称的位函数方程组•上两式是分别关于动态向量位A和动态标量位j的非齐次波动方程，常称为达朗贝尔方程。•这两个方程和式（1-39）（洛仑兹规范）一起构成了与MAXWELL方程组等价的一个方程组。•对于时谐电磁场，场空间中各场点的动态位A(r,t)和j(r,t)也可分别再用复相量表示为和，而相应的达朗贝尔方程的相量形式就成为–式中：，称为相位速度；为正弦激励的角频率。/1V1.6.2磁准静态场中的动态位方程•对于磁准静态场，在忽略位移电流的前提下，式（1-39）即成为–上式A的散度是施加的约束条件，被称为库仑规范。•相应地，式（1-40）也就简化为•但注意，由于此时在导电媒质内伴随有涡流与集肤效应，因而无从预先给定截流导体内电流密度J的分布。换句话说，不可能依据式（1-45）直接求解动态位A。•分析表明，在导电媒质中流通的电流都遵从式（1-7），而其中的电流密度既应表征由外源施加的电流密度Js，又应表征媒质内感生的涡流密度Je，即•代入式（1-36），•可得•注意到在静态极限情况下上式将归结为，•因此，可以对式（1-47）中每一项的物理意义作出判断，即–动态标量位j可看作为自由电荷系统（体、面、线电荷系统）所产生的标量位场，–而动态向量位A则与时变的电流分布相联系，从而可选择涡流密度：•在以上分析基础上，依据基本方程（1-14），结合关系式（1-46）、（1-47），可得描述磁准静态场的动态位方程为–上式兼容了场域中可能存在非线性媒质的一般情况。•若场域中媒质为各向同性的线性媒质，则引入库仑规范，式（1-48）可简化为•对于正弦稳态条件下的磁准静态场，动态位方程（1-49）的相量形式即为•解耦情况下的动态标量位j在设定场空间电荷密度=0的前提下，应满足拉普拉斯方程，即1.6.3静态场中的位函数方程•在静态电场情况下，根据其基本方程组（1-19）、（1-20），同理可以定义–式中，标量位函数j(r)称为电位函数。•可导得等价的位函数方程即泊松方程•在无电荷分布的场域中，位函数j应满足拉普拉斯方程•在静态磁场情况下，根据其基本方程组（1-21）、（1-22），同样可定义向量磁位函数A(r)，满足•从而等价的向量磁位函数的双旋度方程为•若场域中媒质为各向同性的线性媒质，则计入库仑规范，式（1-56）可简化为向量形式的泊松方程•在无电流区域中，静态磁场的基本方程（1-21）变成•这样，就可以引入标量磁位函数jm(r)，而令•显然，标量磁位恒满足拉普拉斯方程补充：（一）波方程的基本解•在均匀、各向同性区域，基本解有平面波、柱面波、球面波。•基本术语：–等相面：在同一时刻，空间波动中相位相同的点连成的表面；–等幅面：在同一时刻，空间波动中振幅相同的点连成的表面；–平面波：等相面为平面的波；–均匀平面波：等相面和等幅面重合的平面波；–非均匀平面波：等相面与等幅面不重合的平面波；–球面波：等相面为球面的波；–柱面波：等相面为柱面的波。平面波)()(),,(),,(),,,(zkykxktjrktjzyxezyxAezyxAtzyxE为复振幅和单位矢量为极化基的两个正交的和21212211;ˆˆ;ˆˆEEaaEaEaA为波数位向量为电磁波传播方向的单直角坐标的波数矢量为/2,ˆˆˆˆˆ:kkkzkykxkkkzyx在均匀、各向同性区域，直角坐标系中的波方程的基本解为均匀平面波。平面波的简单表达式为式中rkjezyxAzyxE),,(),,(rkjeAkH)ˆ(如略去时间因子，即用复矢量表示，则平面波电场为由Maxwell方程，可得平面波磁场的表达式相对于传播方向，均匀平面波的电场、磁场只有横向分量，因此称为横电磁波或TEM波。散射问题常用到角谱理想均匀平面波只在单一方向传播，在角度域只有一条谱。复杂电磁波可分解为许多理想平面波的集合，表示成平面波角谱PWS（planewavespectrum）。从数学上看，每个平面波都是一个d函数。正如复杂时间信号经过Fourier变换可表示为频谱一样，空间场的平面波谱概念非常重要。柱面波0222tPP)(),(,hztjzerfffP则令函数阶函数和第一类阶分别为第一类和式中HankelnBesselnHJerhkHeerhkJennhztjnjnnhkhztjnjnnhk)1(22)1(22,ff在无源区域，赫兹位的波方程为可以证明有产生简单理想柱面波的源为无限长电流线或磁流线022)1(!)1()(mmpmpmpmJBessel函数的级数表达式为)()()()()()()2()1(ppppppjNJHjNJHHankel函数为mnmKmnKnmmnmnnpppppKKmnmmmncnJNnppJpJBJAJNNeumann2011010211)!(!)1(1!)!1(12ln)(2)(,sin)(cos)()()()(则整数若函数为与平面波不同，式中电磁波传播矢量的方向k和径向矢量r的方向处处相同。因此球面波因子可表示为球面波reAErkjrerjk在球坐标下，引用赫兹位或德拜位，通过球坐标的波动方程和分离变量法可得到球面波的解。一个点源天线在远区产生球面波。设理想点源处于球坐标的原点，球面波的基本解可表示为可见，电磁波的等幅面和等相面重合，它们分布在r等于常数的球面上。•根据能量守恒定理，随观察面与理想点源间距离的增加，场强的振幅按1/r规律衰减。•一般来说，只要等相面为球面，电磁波就是球面波。•实际天线不是理想天线，它们都不能产生理想均匀球面波。故A=A(,f)是方位角的函数，即天线有方向性。（二）自由空间中Maxwell方程的解--波方程解的导出•在洛仑兹规范下，•矢量位的矢量姆霍兹方程为•标量位标量姆霍兹方程为•在某些正交坐标系下，矢量姆霍兹方程可简化为标量姆霍兹方程fjAJAkA22Jjkff122xxxJAkA22（三个）•而标量姆霍兹方程的格林函数为•这里r’代表源点位置，r代表场点位置。•因此有rrerrGrrjk4drrGrJrA)()(•而标量位可由洛仑兹规范得到•也可由标量位姆霍兹方程得到fjrAr)()(fdrrGrJjr)(1)(•于是电场E也有两种表达式：•注意这两种表达式的不同。–前者的两个D算子都是对场点r，即都是作用在格林函数G上，导致积分核奇异点阶次很高。然由于等效源无需被作用，在某些条件下如计算远场，能化简得到简明的表达式。因而此表达式一般用于计算远场。–后者的两个D算子，一个对场点r，作用在格林函数G上；一个对源点r’，作用在等效源上，因而积分核奇异点阶次低于前者，一般用于计算近场。GdJkJjEGdJkjE22111•因此也可得•为简洁，引入两个积分微分算子L、K，分别定义为•这样电磁场E和H可写成E=ZL(J);H=K(J)这里drrGrJrH)()(GdXXKGdXkXjkXL)(1)(2/Z•用相同的方法或电磁对偶原理可求出等效磁流