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1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长mλ与温度T成反比，即mλT=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式dvechvdkThvvv11833−⋅=πρ，（1）以及cv=λ，（2）λρρddvvv−=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kThcvvehccdcdddvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作mλ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在mλ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的mλ就是要求的，具体如下：01151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThckThcekThcehcλλλλλπρ2⇒0115=−⋅+−−kThcekThcλλ⇒kThcekThcλλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xex=−−)1(5这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhcTm=λ把x以及三个物理常量代入到上式便知KmTm⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，λhP=如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2cEeµ动），那么epEµ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmmmEchcEhee71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meVhc⋅×=−61024.1以及eVce621051.0×=µ最后，对Echce22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。1．3氦原子的动能是kTE23=（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解根据eVKk3101−=⋅，知本题的氦原子的动能为,105.123233eVKkkTE−×=⋅==显然远远小于2c核µ这样，便有Echc22核µλ=4nmmm37.01037.0105.1107.321024.19396=×=×××××=−−−这里，利用了eVeVc962107.3109314×=××=核µ最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为TkchcEchc2222µµλ==据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。1．4利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T，玻尔磁子124109−−⋅×=TJMB，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔——索末菲的量子化条件为∫=nhpdq其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有22212kxpE+=µ这样，便有)21(22kxEp−±=µ这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据221kxE=可解出kEx2±=±5这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有∫∫−++−=−−+−xxxxnhdxkxEdxkxE)21(2)()21(222µµ⇒nhdxkxEdxkxExxxx=−+−∫∫+−−+)21(2)21(222µµ⇒hndxkxExx2)21(22=−∫+−µ为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；θsin2kEx=这样，便有hnkEdE2sin2cos2222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫−θθµππ⇒∫−=⋅222cos2cos2ππθθθµhndkEE⇒hndkE2cos2222=⋅∫=ππθθµ这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分∫−⋅=222sin2ππθθµdkEB这样，便有∫∫−−⋅=−⋅=⋅=+22222cos2,22ππππθθµµπθµdkEBAkEdkEBA（1）∫∫−−==2222,cos)2(2cosππππϕϕϖθθµdkEdkE这里ϕ=2θ，这样，就有0sin==−∫−ππϕµdkEBA（2）6根据式（1）和（2），便有kEAµπ=这样，便有hnkE2=µπ⇒khnEµπ2=,knhµ=其中π2hh=最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有BqRυυµ=2⇒qBRp==µυ这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为∫=πθ20)(nhRqBRd⇒nhqBR=⋅π22⇒nhqBR=2又因为动能耐µ22pE=，所以，有µµ22)(2222RBqqBRE==,22BnBNqnBqBn=⋅==µµℏℏ其中，µ2ℏqMB=是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且7BBME=∆具体到本题，有JJE232410910910−−×=××=∆根据动能与温度的关系式kTE23=以及JeVKk223106.1101−−×==⋅可知，当温度T=4K时，JJE2222106.9106.145.1−−×=×××=当温度T=100K时，JJE2022104.2106.11005.1−−×=×××=显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。1．5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有2chvEeµ==此外，还有λhcpcE==于是，有2chceµλ=⇒2chceµλ=nmmm31266104.2104.21051.01024.1−−−×=×=××=尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之8类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令)]r()r()r()r([m2i]e)r(e)r(e)r(e)r([m2i)(m2iJe)r()t(f)r()tr(**EtiEti**EtiEti**Eti����ℏ����ℏℏ����ℏℏℏℏℏψψψψψψψψΨΨΨΨψψΨ∇−∇=∇−∇=∇−∇===−−−−−）（）（，可见tJ与�无关。2.2由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer−==1)2(1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波。解：分量只有和rJJ21��在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sinr1er1err0���9rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr�ℏ�ℏ�ℏ�ℏℏ�30202201*1*111)]11(1)11(1[2)]1(1)1(1[2)(2)1(==+−−−−=∂∂−∂∂=∇−∇=−−ψψψψrJ1��与同向。表示向外传播的球面波。rmrkrmrkr)]r1ikr1(r1)r1ikr1(r1[m2ir)]er1(rer1)er1(rer1[m2i)(m2iJ)2(3020220ikrikrikrikr*2*222�ℏ�ℏ�ℏ�ℏℏ�−=−=−−−+−=∂∂−∂∂=∇−∇=−−ψψψψ可见，rJ��与2反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设ikxex=)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==∫∫∞∞dxdxψψ*∵∴波函数不能按1)(2=∫∞dxxψ方式归一化。其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧∞≤≤∞=axaxxxU，，，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S—方程10)()()()(2222xExxUxdxdmψψψ=+−ℏ在各区域的具体形式为Ⅰ：)()()()(20111222xExxUxdxdmxψψψ=+−ℏ①Ⅱ：)()(2022222xExdxdmaxψψ=−≤≤ℏ②Ⅲ：)()()()(2333222xExxUxdxdmaxψψψ=+−ℏ③由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(xU，要等式成立，必须0)(1=xψ0)(2=xψ即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222=+xmEdxxdψψℏ令222ℏmEk=，得0)()(22222=+xkdxxdψψ其解为kxBkxAxcossin)(2+=ψ④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0()0(12ψψ=⑤)()(32aaψψ=⑥⑤0=⇒B⑥0sin=⇒kaA),3,2,1(0sin0⋯∵==⇒=∴≠nnkakaAπ∴xanAxπψsin)(2=11由归一化条件1)(2=∫∞dxxψ得1sin022=∫axdxanAπ由mnabaxdxanxamδππ∫=∗2sinsinxanaxaAπψsin2)(22=∴=⇒222ℏ∵mEk=),3,2,1(22222⋯ℏ==⇒nnmaEnπ可见E是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(ℏπψ#2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA1=′证：⎪⎩⎪⎨⎧≥+′=axaxaxanAn,0),(sinπψ（2.6-14）由归一化，得12aAaxannaAaAdxaxanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(sin2)(cos22)](cos1[21)(sin1′=+⋅′−′=+′−′=+−′=+′==−−−−−∞∫∫∫∫πππππψ∴归一化常数aA1=′#2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：222122)(xxexααπαψ−⋅=2