有理数的加减乘除运算

1有理数的加减乘除运算一、目标认知学习目标：掌握有理数的加法法则，会使用运算律简算；并能解决简单的实际问题。掌握有理数的减法法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，合理运算。重点：有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则。有理数的加法结合律、交换律；乘法交换律、结合律、乘法分配律。混合运算的顺序。难点：有理数运算法则的理解，尤其是有理数加法和减法法则的理解；有理数运算中的符号问题；运用运算律进行简算问题；运算的准确性问题等。二、知识要点梳理知识点一：有理数的加法:把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。要点诠释：相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。知识点二：有理数加法法则根据有理数的加法法则，两数相加，先弄清这两个加数是同号还是异号，根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值。要点诠释：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。（3）一个数同0相加，仍得这个数。知识点三：有理数加法的运算定律要点诠释：（1）加法交换律：。（2）加法结合律：。知识点四：有理数减法的意义要点诠释：有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。知识点五：有理数减法法则要点诠释：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即知识点六：有理数加减法统一成加法的意义要点诠释：对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。2知识点七：有理数加减混合运算的方法要点诠释：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。（2）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。知识点八：有理数乘法法则要点诠释：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。知识点九：有理数乘法法则的推广要点诠释：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。知识点十：有理数乘法的运算定律要点诠释：（1）乘法交换律：（2）乘法结合律：（3）分配律：知识点十一：倒数的概念要点诠释：乘积是1的两个数互为倒数。由于，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。若a、b互为倒数，则ab＝1。知识点十二：有理数除法法则要点诠释：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。三、规律方法指导1、有理数的加法运算分两种情况：同号和异号两数相加，互为相反数的两数之和为0.在运用有理数的加法运算时，关键是要确定和的符号，在具体运算过程中注意能用结合律或交换律一定要用，以便使运算简便。2、有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，这样就把减法转化为加法解，同时注意运用运算律。3、在进行有理数的乘法运算时，关键是确定积的符号，善于应用乘法运算律，互为倒数的两个数的积为1；4、有理数的除法运算可以转化为乘法运算进行。5、在进行加减乘除的混合运算时，要注意运算顺序。3经典例题透析类型一：有理数的运算问题例1、计算思路点拨：由于上题中有互为相反数的－和+，同分母的4和－3.2（－3.2=－3），可以利用加法的交换律和结合律先分别计算出它们的值，使运算简便。解：总结升华：互为相反数的两个数的和等于0。绝对值较大的加数是正数的两个数的和等于正数。绝对值较大的加数是负数的两个数的和等于负数。举一反三：【变式】计算思路点拨：先根据减法法则去掉括号，写成省略加号的代数和。再利用加法交换律把同分母的项结合到一起进行计算。一定要注意交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。解：原式=总结升华：0减去一个有理数所得的差是这个有理数的相反数。要善于在有理数加减混合运算中运用减法法则把减法转化为加法。此外对于运算过程中性质符号和运算符号可以互相转化。例2、计算①②③思路点拨：①小题先确定符号，有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。②小题利用分配律进行计算。③小题把化为再利用分配律进行计算。解：①原式=②原式=③原式=4总结升华：在进行有理数的乘法运算时，应先考虑计算结果的符号，再进行计算。在进行乘法和加减运算时，应运用乘法分配律进行简算。举一反三：【变式】计算①②③思路点拨：①小题要注意运算顺序，先算乘除，再算加减，而不能从左到右依次计算。③小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。类型二：有理数运算的实际问题例3、超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超过标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？思路点拨：本题运用了正负数的意义表示每箱橙子的重量，比如：+0.5表示这箱橙子的重量超过标准重量0.5千克，为（50+0.5）千克。因此，计算总的重量就是求所有箱重量的和。解：购进橙子的总重量为：（50+0.5）+（50+0.3）+（50-0.9）+（50+0.1）+（50+0.4）+（50-0.2）+（50-0.7）+（50+0.8）+（50+0.3）+（50+0.1）=50×10+（0.5+0.3-0.9+0.1+0.4-0.2-0.7+0.8+0.3+0.1）=500+0.7=500.7（千克）答：超市购进的橙子共500.7千克总结升华：注意凑整进行运算比较简便举一反三：【变式1】出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车里程表示如下（单位：千米）:+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6,（1）将最后一名乘客送到目的地时,小李距离下午出车时的出发点多远?（2）如果汽车耗油量为0.8升/千米,这天下午小李共耗油多少升?【变式2】某人用410元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，－3，+2，+1，－2，－1，0，－2，当它卖完8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少钱？【变式3】某教具厂加工正方体模型，在图纸上注明边长为（5±0.1）cm，表示这种正方体的边长的标准尺寸是多少？要求边长最大不超过标准尺寸多少厘米？符合要求的正方体边长最小是多少厘米？类型三：代数式求值问题例4、已知：a的相反数是，b的倒数是，求算式的值5思路点拨：根据题意，可求出字母a和b所表示的数，然后再带入需要计算的代数式。在计算的过程中还要注意运算法则和顺序。解：由题意知：，，把它们分别代入算式，得：==总结升华：互为相反数的两数的和恒为0，互为倒数的两个非零数的积是常数1.举一反三：【变式1】已知的负倒数是5,的相反数是-6,求算式的值【变式2】已知：【变式3】已知：互为相反数，互为倒数，且。求代数式的值。类型四：综合提高例5、计算：思路点拨：本题可直接计算，观察，，…,将原式进行约分即可。解：原式总结升华：本题是一类典型问题，解决此类题目的关键是找到分子、分母的规律。举一反三：【变式1】【变式2】已知：,,,则6【变式3】现在定义两种计算“”和“”，对于任意两个整数，，。求：的值。解：，。原式【变式4】计算：有理数的加减乘除运算一、选择题：1、计算：-6+3=（）A、-9B、9C、-3D、32、下列各组数中，互为倒数的是（）A、-1与-1B、0.1与1C、-2与12D、-43与433、月球表面白天的温度可达123°C，夜晚可降到-233°C，那么月球表面昼夜的温差为（）A、110°CB、-110°CC、356°CD、-356°C4、两个有理数在数轴上的对应点位于原点的两旁，那么这两个数的商是（）A、正数B、负数C、零D、以上情况都有可能5、如果两个有理数的和是正数，那么这两个加数（）A、一定都是正数或零B、一定都是负数或零C、一定都是非负数D、至少有一个是正数6、某天A种股票的开盘价为18元，上午11：30下跌了1.5元，下午收盘时又上涨了0.3元，则A种股票这天的收盘价为（）元.A．0．3B.16.2C.16.8D.187、一个水利勘察队沿一条河向上游走了5.5千米，又继续向上游走了4.8千米，然后又向下游走了5.2千米，接着又向下游走了3.8千米，这时勘察队在出发点的（）处.A．上游1.3千米B.下游9千米C.上游10.3千米D.下游1.3千米8、计算（）A.1B.25C.－5D.357二、填空题：1、计算：（-2）+5=__________；-8–6=__________。2、计算：25×（-2/5）=__________；0÷（-2.7）=__________。3、-5的倒数是__________；-5的平方是__________。4、按照神舟号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，“神舟”五号飞船返回舱的温度为21°C±4°C，该返回舱的最高温度为__________°C5、找出满足下列条件的数：（每空格各写出一个即可）（1）加上-8，和为正数：__________；（2）乘以-8，积为正数：__________。6、计算：（1-2+3-4+5-6+7-8+9-10）÷（-5）=__________。7、观察下面一列数的规律，然后在横线上填上适当的数：-5，-2，1，4，7，_______，_______。三、解答题：1、计算：(1)(2)-9-40+25(3)(4)(-16)(5)(6)(7)(8)2、某冷冻厂的一个冷库，现在的室温是-2°C,现有一批食品，需要在-28°C下冷藏，如果每小时能降温4°C，要降到所需温度，需要几个小时？3.10袋小麦,如果以40千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记做负数.称重的记录如下：＋2，＋1，―0.5，―1，―2，＋3，―0.5，―1，―1，0这10袋小麦的总重量是多少千克？84.下表列出了国外几大个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的小时数）城市纽约巴黎东京与北京的时差－13－7+1（1）如果现在是北京时间上午8：00，那么东京时间是多少？（2）如果小强在北京时间下午15：00打电话给远在纽约的姑姑，你认为合适吗？5.下表是某中学七年级5名学生的体重情况，试完成下表姓名小颖小明小刚小京小宁体重（千克）3445体重与平均体重的差－7＋3－40（1）谁最重？谁最轻？（2）最重的与最轻的相差多少？6.某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）星期一二三四五六日增减－5+7－3+4+10－9－25（1）本周三生产了多少辆摩托车？（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？9答案：三、１、（1）（2）-24（3）-26（4）144（5）运用加法结合律，将同分母分数结合。原式=（6）运用加法结合律，将加减结果为整数的结合。原式=（7）先将除法转化为乘法，运用乘法分配律，但需要注意符号。原式=（8）02、6.5（小时）3、（千克）4、（1）7（2）28，不合适，因为纽约时间是凌晨4点。5、空格内的数为：44，+4，37，41（1）小刚最重，小颖最轻。（2）4-（-7）=11（千克）6、（1）297（辆）（2），比计划减少21辆。（3）35（辆）