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常用逻辑用语1．命题及其真假判断(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．[例1]下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假．①方程x2－2x＝0的根是自然数；②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；③垂直于同一个平面的两个平面平行；④函数y＝12x＋1是单调增函数；⑤非典型肺炎是怎样传染的？⑥奇数的平方仍是奇数；⑦好人一生平安！⑧解方程3x＋1＝0；⑨方程3x＋1＝0只有一个解；⑩3x＋1＝0.[解析]①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题．[点评]⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．[误区警示]含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题．(2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．[例2]判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．[解析]其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，∴原命题为假．2．四种命题的关系(1)注意：若p，则q，不能写作“p⇒q”，因为前者真假未知，而“p⇒q”是说“若p，则q”是一个真命题．(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．[例3]写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：(1)∀n∈N，若n是完全平方数，则∈N；(2)∀a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab；(3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数．(5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c.[解析](1)逆命题：∀n∈N，若n∈N，则n是完全平方数．(真)否命题：∀n∈N，若n不是完全平方数，则n∉N.(真)逆否命题：∀n∈N，若n∉N，则n不是完全平方数．(真)(2)逆命题：∀a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假)逆否命题：∀a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真)(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真)否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真)逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假)否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真)(5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)[误区警示]①“p或q”的否定为“綈p且綈q”；“p且q”的否定为“綈p或綈q”．②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c.3．量词与复合命题(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图．含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准．[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[解析](1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1.(3)綈p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．(4)p∨q形式，其中p：33，q：3＝3.[误区警示]若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题．[例5]写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：有些三角形是直角三角形．(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根．(3)p：三角形的两边之和大于第三边．(4)p：存在实数q0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．[解析](1)綈p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)(2)綈p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)(3)綈p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)(4)綈p：“对任意实数q0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)4．充要条件(1)若“p⇒q”，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即：有了p成立，则一定有q成立，即使p不成立，q也可能成立；q不成立，则p一定不成立．(2)区分“p是q的充要条件”，“p的充要条件是q”说法的差异．[例6](09·四川理)已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“a－cb－d”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．[答案]B[解析]由a－cb－d变形为a－bc－d，因为cd，所以c－d0，所以a－b0，即ab，∴a－cb－d⇒ab.而ab并不能推出a－cb－d.所以ab是a－cb－d的必要而不充分条件．故选B.[例7]已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．[解析]解不等式x2－8x－200得p：A＝{x|x10，或x－2}．解不等式x2－2x＋1－a20得q：B＝{x|x1＋a，或x1－a，a0}．依题意，p⇒q但q⇒/p，说明AB.于是，有a01＋a≤101－a≥－2，且等号不同时取得，解得0a≤3.∴正实数a的取值范围是0a≤3.5．反证法如果遇到正面证明一个问题比较困难时，可通过假设结论的反面成立，从假设出发，推证出明显的矛盾，从而肯定假设不正确，原结论正确．这种方法适合于结论本身为否定形式或含有“至少”“至多”等限制词的情况[例8]求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.[证明]假设p＋q2，则p2＋q2＝12[(p－q)2＋(p＋q)2]≥12(p＋q)212×22＝2，即p2＋q22，这与题设矛盾．因此假设不成立．即p＋q≤2成立．