高三数学复习资料-常用逻辑用语题型精析-理

1《常用逻辑用语》题型导析《常用逻辑用语》一章，概念多，题型多，涉及面广，几乎与高中所有章节的内容都有或多或少的联系.因此，在学习过程中，一方面要掌握相关章节内容的基础知识，这是学好本章的必要条件；另一方面要在理解的基础上把握好本章的主要内容和基本题型，掌握其解题方法与技巧.惟有如此，才能达到“利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流”之目的.一、命题及其构造1、命题真伪的判断例判断语句“对于(x－1)2≤0，有2x－1＜0”是不是命题.解析是命题。因为(x－1)2≤0，即x＝1时，2x－1＜0不成立，所以命题为假命题.点拨判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．另外，命题不只有两种规范形式：“若p，则q”和“如果p，那么q”，命题也可写成“只要p，就有q”的形式。因此，将题中的语句改写成“若(x－1)2≤0，则2x－1＜0”或“只要(x－1)2≤0，就有2x－1＜0”，则其是否为命题就显而易见.2、四种命题的构造——先要弄清给出的命题（原命题）的大前提、条件与结论，然后进行“换位”（条件与结论互换）与“换质”（对条件与结论进行否定）.例1命题“若22x，则260xx”的否命题是.解析对原命题的条件与结论同时进行否定（“换质”），即可得否命题：“若2x或2x，则260xx”.点拨由原命题写出其它三种形式的命题时，要注意条件与结论的“换位”与“换质”关系：对于两个命题，如果是条件与结论“换位”的，则称互逆命题；如是条件与结论“换质”的，则称互否命题；如是条件与结论既“换位”又“换质”的，则称互为逆否命题.例2已知命题“a，bR，若0ab，则0a”，则它的逆否命题是（）A．a，bR，若0a≤，则0ab≤B．a，bR，若0ab≤，则0a≤C．a，bR，若0ab，则0aD．a，bR，若0ab≤，则0a≤解析对原命题的条件与结论同时互换并同时进行否定（既“换位”又“换质”）即可得逆否命题。故选A.点拨对于命题的构造，有一点必须注意：即无论是构造那种形式的命题，改变的只是条件与结论的形式与位置，“大前提”是不能改变的，否则，就改变了命题的“性质”.另外，题中的“a，bR”是大前提，有别于全称量词，解题时，应引起注意.3、复合命题的构造——注意利用真值表进行构造并判别例命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形.命题q：对角线互相平分的四边形是菱形.请写出“p或q”、“p且q”形式的复合命题.解析p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形；p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.点拨教材中规定：用逻辑联结词“且”、“或”把命题p和命题q联结起来得到的新命题分别称为p且q命题、p或q命题.有人认为命题“p或q”是：“对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形”；命题“p且q”是：“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”.此解法虽然把“或”与“且”写进了新的命题，但其实都是错的.事实上，命题p、q都是假命题，由真值表知，命题p或q、p且q也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，显然矛盾.4、命题的否定——命题的否定不同于否命题，简单命题的否定是直接否定判断词，对2复合命题的否定要注意一些常用否定词，对全称或特称命题进行否定时，在否定判断词的同时还要否定全称或存在量词.例1命题p：“梯形有一组对边平行”，则p是.解析p是：“梯形没有一组对边不平行”.点拨对于p，有人认为是“梯形有一组对边不平行”，这是错误的.由真值表知，p与p一真一假.此例中命题p为真命题，那么p一定为假命题，但“梯形有一组对边不平行”却是真命题，这显然矛盾.事实上，原命题的关键词是“有．”，而不是“平行．．”，因此必须将“有”否定，而不是否定“平行”.例2已知命题:,ln(1)0xpxRe，则p为.解析p为：,ln(1)0xxRe.点拨已知命题为全称命题.在写全称命题(或存在性命题)的否定时，要注意量词的变化，即全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词．此例中只要将、即可得到p.二、命题真假的判断1、（简单）命题真假的判断——对于简单命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．例1下列命题中的真命题是()A、命题“若a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆命题B、命题“奇数的平方不是偶数”的否定C、命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题D、命题“至少有一个内角为60°的三角形是正三角形”的否命题解析选项A中的逆命题是“a＋b是偶数，则a、b都是偶数”，举一反例即能断定这是一个假命题；选项B中的命题的否定是“存在一个奇数，其平方是偶数”，显然也是一个假命题；注意到空集是任何非空集合的真子集，而不是任何集合的真子集，∴选项C中的原命题是一个假命题，∴它的逆否命题也是一个假命题；选项D中的否命题是“三个内角均不为60°的三角形不是正三角形”，这显然是一个真命题．故选D．点拨求解此类问题时，一要明确四种命题的组成形式，二要会运用所学知识去判断命题或其等价命题的真假．判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解．例2对于△ABC，有如下四个命题：①若sin2sin2AB，则△ABC为等腰三角形；②若sincosBA，则△ABC为直角三角形；③若222sinsinsinABC，则△ABC为钝角三角形；④若coscoscos222abcAAC，则△ABC为等边三角形；其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4解析由sin2sin2AB可得AB或90AB，知①假；如令120,30BA，则有sincosBA，知②假；由222sinsinsinABC及正弦定理，得222abc，再由余弦定理知C为锐角，据此不能断定△ABC为钝角三角形，故③假；由正弦定理可得sinsinsin222ABC，即ABC，知④真.故选A.点拨要判断一个命题为真命题，则须进行严格的推理论证，而要说明它是假命题时，只须举一个反例即可.此例与三角函数相关，掌握相关公式是解题的关键.例3直线l、m与平面、满足l⊥平面，m，以下四个命题：3①∥l⊥m；②⊥l∥m；③l∥m⊥；④l⊥m∥．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③解析在l⊥α，mβ的前提下，当α∥β时，有l⊥β，从而l⊥β，从而l⊥m，得(1)正确；此时，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)：由l∥m，l∥α知m⊥α，从而由mα得α⊥β，即(3)正确。故选D.点拨对于立几中位置关系的判别，抓住定义和判定定理是解决问题的关键.另外，如能充分利用“教室”中的线面关系进行判别，也是一个不错的选择.“不识庐山真面目，只缘身在此山中”.2、复合命题真假的判断——利用真值表进行判断例1命题P：若a、bR，则||||1ab是||1ab的充分不必要条件；命题Q：函数|1|2yx的定义域是(,1][3,)，则（）A.PQ为假B.PQ为真C.P真Q假D.P假Q真解析∵||||||abab，且||||1ab，∴||ab不一定大于1，∴命题P为假；而由|1|20x得3x或1x，∴命题Q为真.故选D.点拨判断由逻辑联结词构成的复合命题的真假，关键是弄清命题的构成形式，即弄清所含的逻辑联结词是什么，然后判断其中的简单命题的真假，最后由真值表得出结论.例2如果命题“()pq”为假命题，则（）A.p,q均为假命题B.p,q均为真命题C.p,q中至少有一个为真命题D.p,q中至多有一个为真命题解析由真值表知正确答案选C.点拨命题“()pq”为命题pq的否定，一方面，由命题“()pq”为假命题，可知命题pq为真命题，由真值表知p、q中至少有一个为真命题；另一方面，因命题“()pq”与命题“()()pq”等价，故p与q中至少有一个为假命题，从而知p、q中至少有一个为真命题.3、全称命题、特称命题真假的判断——判断全称命题为真命题时必须进行证明，而要否定它时只须一个反例即可；判断特称命题为真命题时，只要举一个例子满足命题即可，而要否定它时可从反而思考（反证法）.例1已知命题1:Rpx，210xx；2:[1,2]px，210x．以下命题为真命题的为（）A．12ppB．12ppC．12ppD．12pp解析22(1)430,10xx的解集为空集，故命题1p为假命题，1p为真命题；210,11,xxx或[1,2]x，使得210x恒成立，故2p为真命题；因1p为真命题，2p为真命题，故12pp为真命题.选C.例2有以下四个命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀x∈[0，π]，1－cos2x2＝sinx；p4：sinx＝cosyx＋y＝π2；其中的假命题是()A、p1，p4B、p2，p4C、p1，p3D、p2，p3解：∵∀x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1，∴p1是假命题；p2是真命题，如x＝y＝0时成立；p34是真命题，∵∀x∈[0，π]，sinx≥0，∴1－cos2x2＝sin2x＝|sinx|＝sinx；p4是假命题，如x＝π2，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠π2．故选A．点拨以上两例都与全称命题和特称命题真假有关.由于全称命题中的关键词强调命题的一般性，因此要否定全称命题只需一个特殊的反例即可；而存在性命题中的关键词强则调命题的存在性，因此要肯定存在性命题，只要找一个符合要求的例子即可.4、利用命题的真假性求参数的值或取值范围——根据命题的真假性解决问题，应首先将命题为真(假)进行等价转化（如转化为集合间的关系），再根据具体问题进行求解.例1已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是_________．解析命题p等价于Δ＝a2－16≥0，∴a≤－4或a≥4；命题q等价于－a4≤3，∴a≥－12；p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．∴实数a的取值范围为(－4,4)∪(－∞，－12)．例2已知命题p：方程2220axax在[1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式2220axax，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围.解析由2220axax得(2)(1)0axax，显然1a，所以2xa或1xa，因为[1,1]x，故2||1a或11a，所以||1a；又“只有一个实数满足2220axax”，即抛物线222yaxax与x轴只有一个交点，所以2480aa，所以0a或2a，故命题“p或q”为真命题时，||1a或0a；因为命题“p或q”是假命题，所以a的取值范围为{|10aa或01}a.点拨以上两例都是利利用用命命题题的的真真假假性性来来求求参参数数的的取取值值范范围围，解决这类问题时要注意层层推进，一般是先根据题设的条件，先求出每个命题（或等价命题）是真命题时参数的取值集合（命题为假时即为其补集），然后根据每个命题的真假情况，求出对应的两个集合的并集或交集，此并集或交集即为所求参数的取值范围.三、充分必要条件的判断充要条件的判断主要有三类题型：一是判断指定的条件与结论之间的条件关系，即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件；二是探求某结论成立时的条件是什么条件；三是根据某条件成立时，求解参数问题.判断充要条件的方法主要有定义法，集合法，命题