定积分定义

上页下页返回退出定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质上页下页返回退出一、定积分问题举例•曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积上页下页返回退出•观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？上页下页返回退出•求曲边梯形的面积(1)分割:ax0x1x2xn1xnb,Dxixixi1;小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi(xi1xixi);(2)近似代替:(4)取极限:设max{Dx1,Dx2,,Dxn},曲边梯形的面积为DniiixfA10)(limx.(3)求和:曲边梯形的面积近似为;DniiixfA10)(limx.上页下页返回退出2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割:T1t0t1t2tn1tnT2,Dtititi1;(2)近似代替:物体在时间段[ti1,ti]内所经过的路程近似为DSiv(i)Dti(ti1iti);物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{Dt1,Dt2,,Dtn},物体所经过的路程为DniiitvS1)(;DniiitvS10)(lim.上页下页返回退出二、定积分定义定积分的定义max{Dx1,Dx2,,Dxn};记Dxixixi1(i1,2,,n),ax0x1x2xn1xnb;•在区间[a,b]内插入分点:设函数f(x)在区间[a,b]上有界.•如果当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和xi的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上•在小区间[xi1,xi]上任取一点xi(i1,2,,n),Dniiixf1)(x;作和即badxxf)(,的定积分,记为Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x.上页下页返回退出•定积分各部分的名称————积分符号,f(x)———被积函数,f(x)dx——被积表达式,x————积分变量,a————积分下限,b————积分上限,[a,b]———积分区间，定积分的定义二、定积分定义Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x.Dniiixf1)(x———积分和.上页下页返回退出定积分的定义二、定积分定义说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x.根据定积分的定义,曲边梯形的面积为badxxfA)(.变速直线运动的路程为dttvSTT)(21.bababaduufdttfdxxf)()()(.上页下页返回退出函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.•定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.•定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定积分的定义二、定积分定义Dniiibaxfdxxf10)(lim)(x.上页下页返回退出•定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.这是因为DDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010xx.DDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010xx.DDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010xx.DDbaniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010xx.上页下页返回退出一般地,f(x)在[a,b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.•定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.上页下页返回退出•利用定义计算定积分解:例1利用定积分定义计算.dxex10取分点为(i1,2,,n1),则(i1,2,,n).nixinxi1D在第i个小区间上取右端点(i1,2,,n).nixiix于是)(1lim1lim21110nnnnnnininxeeennedxe1)1(]1[lim1])(1[1lim11111eeneeeeennnnnnnnn上页下页返回退出•利用几何意义求定积分解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y1x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y1x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以首页例2例2用定积分的几何意义求10)1(dxx.211121)1(10dxx.211121)1(10dxx.211121)1(10dxx.上页下页返回退出三、定积分的性质两点规定(1)当ab时,0)(badxxf;(2)当ab时,abbadxxfdxxf)()(.上页下页返回退出这是因为三、定积分的性质•性质1badxxgxf)]()([Dniiiixgf10)]()([limxxDDniiiniiixgxf1010)(lim)(limxxbabadxxgdxxf)()(.badxxgxf)]()([Dniiiixgf10)]()([limxxDDniiiniiixgxf1010)(lim)(limxxbabadxxgdxxf)()(.性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.上页下页返回退出三、定积分的性质•性质1•性质2•性质3注：值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何上式总成立.性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.性质2babadxxfkdxxkf)()(.性质3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.上页下页返回退出三、定积分的性质•性质1•性质2•性质3•性质4性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.性质2babadxxfkdxxkf)()(.性质4abdxdxbaba1.性质3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.上页下页返回退出•推论1如果在区间[a,b]上f(x)g(x),则这是因为g(x)f(x)0,从而如果在区间[a,b]上f(x)0,则•性质5badxxf0)((ab).babadxxgdxxf)()((ab).bababadxxfxgdxxfdxxg0)]()([)()(,babadxxgdxxf)()(.所以上页下页返回退出这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以•推论1如果在区间[a,b]上f(x)g(x),则如果在区间[a,b]上f(x)0,则•性质5•推论2即babadxxfdxxf|)(||)(|.badxxf0)((ab).babadxxgdxxf)()((ab).babadxxfdxxf|)(||)(|(ab).bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|,上页下页返回退出•推论1如果在区间[a,b]上f(x)g(x),则如果在区间[a,b]上f(x)0,则•性质5•推论2•性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则badxxf0)((ab).babadxxgdxxf)()((ab).babadxxfdxxf|)(||)(|(ab).baabMdxxfabm)()()((ab).上页下页返回退出如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点x,使下式成立:这是因为,由性质6•性质7(定积分中值定理)——积分中值公式.由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.baabfdxxf))(()(x.baabMdxxfabm)()()(,即baMdxxfabm)(1,badxxfabf)(1)(x,上页下页返回退出例3估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx上页下页返回退出总结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限上页下页返回退出１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．小结