简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体的外接球与内切球问题定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、直棱柱的外接球1、长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直径R2为体对角线长l即2222cbaR2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为a3，其外接球的直径R2为a3。3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32二、棱锥的外接球1、正棱锥的外接球方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。例3、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.例5、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为___________。例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（）（A）433(B)33(C)43(D)1232、补体方法的应用（1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥（3）、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm、42cm和32cm，那么它的外接球的体积是。例9、在三棱锥BCDA中，BCCDBCDAB,平面,543CDBCAB，，则三棱锥BCDA外接球的表面积__________。例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A.4πB.8πC.12πD.16π三、圆柱、圆锥的外接球旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例11、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。例12、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径。四、正方体的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。五、棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为SVR3.例17、正四棱锥SABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少？图1图2例18、三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且2PA，则此三棱锥内切球的半径为（）六、圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）例19、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。例20、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。巩固训练：1、一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为。2、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.ABCPDEF4、已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC;则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．225、已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB的面积为______________.