微积分基本公式

§3.4微积分基本公式§3.4.1变上限积分*定义3.4设函数()fx在区间[,]ab上可积，[,]xab，则变动上限的积分()()xaftdtaxb是上限x的函数，称为变积分上限函数（变上限积分），记作()()xaxftdt§3.4.1变上限积分*定理3.1设函数()fx在区间[,]ab上连续，则变积分上限函数()()xaxftdt在区间[,]ab上可导，且()()()()xadxftdtfxaxbdx引例3.6引例3.7§3.4.2微积分基本公式定理3.2（微积分基本公式）若函数()Fx是连续函数()fx在区间[,]ab上的一个原函数，则()()()bafxdxFbFa称为微积分基本公式也称为牛顿-莱布尼兹公式.案例3.20案例3.22案例3.16案例3.23案例3.18案例3.19案例3.21案例3.17课堂练习1、有一半径为r的圆柱木料，现过底圆的中心与底面成a角(锐角)作一平面，截下该木料上一块楔形木块，求这楔形木块的体积.参考答案课堂练习2、某投资项目的成本为l百万元，在10年中年可收益25万元，投资年利率5%.试求这10年中该项目的纯收入的贴现值.参考答案参考答案2、10年中该项投资的纯收入的贴现值为96.75万元3213Vrtg、返回引例3.6设某种产品其总产量的变化率（即边际产量）是时间t的连续函数()PPt，求从第a年到第x年这期间的总产量.引例3.6解由定积分概念，从第a年起到第x年这期间的总产量Q为()()()xaPtdtQxQa两边同时对x求导，且因()()QtPt，于是()[()()]()()xadPtdtQxQaQxPxdx返回引例3.7设某商品的价格P是销售量t的连续函数()PPt，当销售量从a变动到x时的收益R为多少？引例3.7解由定积分概念，销售量从a变动到x时的收益R为()()()xaPtdtRxRa两边同时对x求导，且因()()RtPt，于是()[()()]()()xadPtdtRxRaRxPxdx返回案例3.16已知销售某种产品x件时，总收入R(x)的变化率（边际收入）（单位：元/件）为()100002xRxx(1)求销售100件时该产品的总收入；(2)求销售从200件增到400件时，总收入增加了多少？解（1）因为销售100件时该产品的总收入是(100)R，所以10010000(100)()(1000)2xRRxdxdx又因为2(1000)100024xxdxxC，所以210010000(100)(1000)(1000)|9750024xxRdxx（元）返回(2)销量从200件增到400件，总收入增加了：400200(400)(200)(1000)2xRRRdx=2400200(1000)|1700004xx（元）案例3.17某水泥厂生产水泥的边际成本为50()100Cxx（元/吨），其中x为产量（单位：吨）.求当产量从6400吨增加到10000吨时，总成本的增加量.案例3.17解设产量从6400吨增加到1万吨时，总成本的增加量C，则10000100006400640050()(100)CCxdxdxx返回又因为50(100)100100dxxxCx，10000100006400640050(100)(100100)362000Cdxxxx（元），因此，总成本的增加量36.2万元的投资.案例3.18已知某产品的边际成本函数为3()4002xCx（元/台），边际收入函数为()1000Rxx（元/台），其中x为产量（单位：台）.求（1）生产多少台时总利润最大？（2）总利润最大时总收入为多少？案例3.18返回解（1）由于利润函数所以令，得驻点x=1200由于是唯一的驻点，由问题的实际意义当x=1200台时利润最大.()()()LxRxCx3()()()100040060022xxLxRxCxx()0Lx2）获最大利润时的总收入为2120012001200000(1200)()(1000)(1000)19200002xRRxdxxdxx（元）因此，当产量为1200台时，所获利润最大，此时的总收入为192万元.案例3.19某工厂生产某商品总产量在时刻t的变化率为()10012xtt（单位/小时）.求由2t到4t这两小时的总产量.案例3.19解设总产量为)(tx，则4422422()(10012)(1006)272Qxtdttdttt因此，2t到4t这两小时的总产量为272单位.返回案例3.20在某地区当消费者个人收入为x时，消费支出()Wx的变化率15()Wxx，当个人收入由900元增加到1600元时，消费支出增加多少？案例3.20解消费支出增加为160016009009001530300Wdxxx（元）因此，当个人收入由900元增加到1600元时，消费支出增加300元.返回案例3.21设某种服装的销售量在时刻t时的变化率为2()40.3Qttt（千件/月），试求一年内的总销售量.案例3.21解所求的总销售量为121220012230()(40.3)(20.1)115.2QQtdtttdttt因此，一年内的总销售量为115.2千件.返回案例3.22某加工厂已购置一台机器，收益与时间的函数关系为21()814Rtt（万元），维修成本与时间的函数关系为2()2Ctt（万元）.假定机器报废时没有任何成本或残留价值.试问其利用率最高（即累积利润最大）时,这台机器应使用多少年？并计算总利润.解设利润与时间的关系为()Lt，则()()()LtRtCt.投入使用t年的时累积利润0()()tTLtLxdx，返回这台机器使用6年后应报废，6年的累积利润为：6662300093(6)[()()](81)(81)32444TLRtCtdttdttt因此，这台机器使用6年后应报废，6年的累积利润为324万元.当(())()0TLtLt时，即当收益等于维修成本时，机器报废，累积利润最大.因此2218124tt，得t=6（年）.案例3.23某食品厂生产某种食品的边际成本为()2Cx(元/件)（固定成本为0），而边际收入为()200.02Rxx(元/件)，求：（1）产量x为多少时总利润最大？（2）总利润的最大值是多少？（3）生产800件时的总利润为多少？案例3.23解（1）由于边际利润等于边际收入和边际成本的差()()()200.022180.02LxRxCxxx令()0Lx，得唯一驻点x=900因此，当x=900件时总利润最大.返回（3）生产800件的总利润为8008008002000(800)()(180.02)(180.01)8000LLxdxxdxxx（2）总利润的最大值为9009009002000(900)()(180.02)(180.01)8100LLxdxxdxxx