搞定空间几何体的外接球

图5ADPO1OCB图5-4PADO1OCB图3-1C1B1AEFA1O1OO2BC专题3搞定空间几何体的外接球与内切球一、基本方法：（1）定心：确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（222drR）；该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。（2）补形：补成长方体，利用长方体对角线求解（22224cbaR）；有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分，其外接球与长方体的外接球是同一个球，故可利用长方体模型求解。另外有些不规则的几何体还可以选择建系，设球心，利用球心到各顶点的距离相等求出球心坐标求解。但该方法计算量大，高考一般不会考查。高考中以模型一、二、三、四为主。类型一：锥体模型（P的射影是ABC的外心即侧棱长相等）第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R类型二：柱体模型（直棱柱、圆柱）第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径rAO1，hAAOO212111；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)2(rhR22)2(hrR，解出R类型三：线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模型）第一步：将ABC画在小圆面上，D为小圆上任意的一点，；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径rDO1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin），PAOOd211；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：222drR.图6H1EACOBDA'H2类型四：长方体模型1.三条棱两两垂直，可补形为长方体cab图1-1CPABabc图1-2PCBAabc图1-3CBPA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，求出R2.三棱锥（即四面体）中，三组对棱分别相等，亦可补形为长方体第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为cba,,，xBCAD，yCDAB，zBDAC，第三步：由22222222zyxcbaR，求出R.类型五：二面角模型（两个三角形拼在一起，一般为两等腰三角形或直角三角形）1.当两等腰三角形由公共底边折叠时，第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心1H和2H；第二步：过1H和2H分别作其所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OCOE,；第三步：解1OEH，算出1OH，再由勾股定理：22121OCCHOH，求出球的半径R。2.当两直角三角形由公共斜边折叠时，其公共斜边就是外接球的直径。类型六：内切球问题1．正棱锥的内切球.第一步：先现出内切球的截面图，HE,分别是两个三角形的外心；第二步：由POE相似于PDH，建立等式：PDPODHOE，解出r2．任意多面体的内切球：等体积法，第一步：先求出多面体的表面积和体积；第二步：解出表SVr3图8-1HDABCPOEyxabczzyx图2-1DCAB