4.系统的可控可观性

第4章控制系统的可控性和可观测性在经典控制理论中，着眼点在于研究对系统输出的控制。对于一个单输入—单输出系统来说，系统的输出量既是被控量，又是观测量。因此，输出量明显地受输人信号控制，同时，也能观测，即系统不存在能控、不能控和能观测、不能观测的问题。现代控制理论着眼点在于研究系统状态的控制和观测。这时就遇到系统的能控性和能观测性问题了。可控性、可观性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。4.1可控性和可观测性如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。4.1.1系统的可控性概念说明1：系统在时刻t的运动状态是由n个状态变量综合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状态变量不接受输入控制，就称系统是不可控的，或称系统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间和不可控状态空间。因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系统的具体输入u无关。说明2：可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关，与输出方程无关。说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为，如果在的有限时间区间内，存在控制使，则称系统状态在时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。0)(00可以为ttx10,tt)(tu0)(1tx0t说明4：如果在时间区间内存在控制，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态，则称为状态能达性。可以证明系统能控性与能达性是等价的。0)(0tx10,tt)(tu)(1tx提示：说明3+说明4=任意位置到任意位置4.1.2系统状态的可控性判据判据一：若线性定常系统状态方程能控，则能控性矩阵满秩。即判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。能控性矩阵的秩称为系统的能控性指数，表示系统的能控状态变量的个数。ButAxtx)()(BABAABBUn12...nU）rank(例4-1考虑由下式确定的系统：uxxxx1010112121由于：00011][detdetABBU即U为奇异，所以该系统是状态不能控的。例4-2考虑由下式确定的系统：由于：即U为非奇异，所以该系统是状态能控的。uxxxx101211212101110][detdetABBU判据二：如果A的特征向量互不相同，则经过线性变换将A阵转换为对角阵后，系统可控的充要条件是转换后的状态方程：其输入矩阵没有一行的所有元素均为零。u1B11x22xnnx2BnB0iB可见，系统各状态变量之间没有耦合关系，系统相当于n个独立的子系统并联。输入u(t)对状态变量是否有控制作用取决于输入矩阵B中第i行的元素是否不全为0，即是否ix如果矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。若输入矩阵中B3≠0,则输入u(t)对状态变量x3有直接的控制作用。此时，即使中其他行的元素全为0，即B1=0和B2=0，输入u(t)对状态变量x1和x2也可以通过状态变量x3产生间接的控制作用。因此，只要B3≠0，输入u(t)对各状态变量都有控制作用。u1B1x2x3x2B3B例4-3下列系统是状态能控的：uxxxx52200121212154321543213213211200030010500152001200012340200010011uuxxxxxxxxxxuxxxxxxuxxxxxxxxxxuuxxxxxxuxxxx031245001520012000120300242000100110220015432154321213213212121下列系统是不能控的：判据三：状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。)1)(5.2(5.2)()(ssssUsX例4.4考虑下列传递函数：：uxxxx115.15.2102121其对应状态方程：1111][ABB秩为1，所以可得到状态不能控的同样结论。多输入多输出传递函数阵有的分母缺因式，是系统不可控导致。4.1.3系统的输出可控性判据输出矩阵Cq×n，q个输出。提示：弱于状态可控例4-5判断系统状态可控性和输出可控性：解：提示：部分状态不可控，但输出可能不涉及那些状态。所以输出仍然可能可控4.1.4系统的可观性概念如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限时间的输出测量完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。提示：号脉在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑零输入系统。这是因为，状态能否被观测，与有没有输入无关。事实上，非零状态的能量释放（紧张度释放），也同样可以激励所有状态。为简化分析，通常只考虑零输入情形。这一点，由非齐次解的结果也可以看出：DuCxyBuAxxtotAAtdBuexetx)()0()()(DudBueCxCetytotAAt)()0()()(一般系统：由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式零输入系统就可以了。4.1.5系统的可观性判据判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。其输出向量为由于：将y(t)写为A的有限项的形式，即：CxyAxx)0()(xCetyAt10)(nkkkAtAte提示：凯莱-哈密顿)0()()(10xCAttyknkk或：)0()()0()()0()()(1110xCAtCAxtCxttynn显然，如果系统是能观测的，那么在0≤t≤t1时间间隔内，给定输出y(t)，就可由上式唯一地确定出x(0)。这就要求nq×n维能观测性矩阵的秩为n，此为判据一。1nCACACV21212101101211xxyuxxxx例4-6试判断由式所描述的系统是否为能控和能观测的。1110][ABBUnrankU210]['CABCBUqrankU1解：由于能控性矩阵故该系统是状态能控的。对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于故该系统是输出能控的。提示：状态可控一定输出可控1011][TTTTCACVnrankVT2对于能观测性矩阵的秩：故此系统是能观测的。判据二：y11xnx1C22x2CnnxnC1212nnxxyCCCx对角标准型结构为：类比可控性1x2x3x3Cy1C2C可见，若输出矩阵C的第一列的元素不全为0，即C1≠0,则即使第二列和第三列的元素全为0，即C2=0和C3=0，输出y(t)也包含所有的状态变量，系统是能观测的。约旦块结构如右图：例4-754321215432154321321213213212121210111000111,300132001200012004003,200120012]31[,2001xxxxxyyxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxxyxxxx下列系统是能观测的：5432121321213213212121210011000111,30013200120001254321420310,200120012]10[,2001xxxxxyyxxxxxxxxyyxxxxxxxxyxxxx显然，下列系统是不能观测的：判据三用传递函数矩阵表达的能观测性条件类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。154,100,6116100010,321CBAxxxx例4-8对于系统提示：MIMO系统，有的传递被约掉没关系，只要没有相约的那个传递，反映到输出，就可以观测。所以约掉只是不可观的必要条件。而SISO则是充要条件。提示：另一方面，约掉的部分如果一定同时对应不可控不可观的话，那就不存在可控不可观，可观不可控的系统了。111575664])([2TTTTTTCACACV0111575664nrankVT3由于能观测性矩阵注意到即故该系统是不能观测的。)3)(2)(1(1)()(1ssssUsX)4)(1()()(1sssXsY)3)(2)(1()4)(1()()(ssssssUsY事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X1(s)和U(s)之间的传递函数为：又Y(s)和X1(s)之间的传递函数为：故Y(s)与U(s)之间的传递函数为：提示：A的最后一行6,11,6确定提示：C的1,5,4确定，注意是倒序显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。4.2可控性和可观性的对偶关系系统能控性是研究输入u（t)与状态x(t)之间的关系，而能观测性是研究输出y（t)与状态x(t)之间的关系。通过上面的讨论可以看到，能控性与能观测性，无论在概念上还是判据的形式上，都很相似。它给人们一个启示，即能控性与能观测性之间存在某种内在的联系。这个联系就是卡尔曼提出的对偶性。CxyBuAxx考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：现在．我们来构造一个系统s2nmrnnnmrnRCRBRARyRuRx,,,,,zBnvCzAzTTTnrTmnTnnTrmnRBRCRARnRvRz,,,,,ww