2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(上课用)

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1.回忆两个向量的夹角.)1800(,,,的夹角和叫做向量则作和量定义：已知两个非零向baAOBbOBaOAbaOAaBb.1800反向与时，同向；当与时，显然，当baba.90bababa垂直，记作与，我们就说的夹角是与定义：如果2.回忆物理中功的算法Fs如果一个物体在力的作用下产生位移,那么力所作的功W可用下式计算FsF.cos的夹角和是其中sFsFW下面我们引入向量数量积的概念.3.平面向量的数量积,coscos.abababababab定义：已知两个非零向量和它们的夹角为，我们把数量叫做向量和的数量积内积（或），记作，即规定：零向量与任一向量的数量积为0.注：(1)两个向量的数量积是一个数量，这数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关..)2(sFsF量积的数位移与其作用下物体产生的，就是力前面所说的力所做的功.”“不能去掉，也不能写成”中间的“,ba只能写成的数量积b与a两个向量(3)此点很重要.120,4,51obababa，求的夹角与已知例10120cos45ocos||||baba解：11||2||,602()2||12,||9,542,abababababab随堂练习：、若,与的夹角为，则、则向量与向量的夹角（）124的值。求，设中，的正三角形如图：边长为例babCAaBCABC2:2CBA-1ABAD60(2)(3)DABADBCABCDABDA练习：在平行四边形ABCD中，已知||=4，||=3，求：(1)BACD60(1).9(2).-16(3).-6.cos.cos,,,,,)1(111方向上的投影在叫做向量我们把则垂足为垂直于直线作过点定义：如图，设abbbOBBOABBBAOBbOBaOA4.向量的投影的概念B1BbOAaBbOAa1Acos||1aOAaOAB1bBaO(B1)AbB注意：当为锐角时，投影是正值：当为钝角时，投影是负值；当=90°时,投影是0.当=0º时，投影为;当=180°时，投影为.bb(2)两个向量数量积的几何意义.cos的乘积方向上的投影在与的长度等于数量积babaabaaOAbBB1OAaBbB1.,12,5,32.60,61o方向上的投影在求、已知）的投影是（方向上在，则间的夹角为为单位向量，它们之、练习：bababaeaea312503032//15||4||3的夹角为与）（）（）（在下列条件下，求，，、已知bababababa(1)20或-20（2）0(3)1035.向量数量积的性质的夹角，则与是都是非零向量，设baba,.0)1(baba.018090;09002oooobaba时，，当时，，）当（.;)3(babababababa反向时，与当同向时，与当.cos)4(baba.)5(baba.,222aaaa也就是特别地，,,00ABCABaACbababABC1、已知中，当或时，试判断的形状。练习:,,0ABCABaBCbabABC变式：已知中，当时，试判断的形状。钝角或直角三角形钝角三角形6.思考：.0,0,0.0,0,0)1(babababa是否一定有且若成立吗？这一结论对于向量，还一定有那么，且在实数中，如果.0.零向量但两个向量可以都不是，时，当不一定答案：baba(2)如果a、b、c都是实数，a·c=b·c,且c≠0，那么，a=b.这一结论对于向量能成立吗？吗？则一定有且也就是，若baccbca,0,.,0,,,baccbcaba但答案：如图，bacabba)()()(bababacbcacba)(⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：则，和实数、、已知向量cba7、数量积的运算律下面我们证明运算律（3）：cbcacba)(⑶分配律：.OCAA1Bab12证：.cOCbABaOAO，，作，任取一点，如图方向上的投影等于在即cOBba)(即，方向上的投影的和在、cbacos||ba21cos||cos||ba21cos||||cos||||cos||||bcacbacbcacbac)(.)(cbcacbaB1cab想一想：∴向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律吗？说明：()abcc表示一个与共线的向量，()abca而表示一个与共线的向量ca但与不一定共线，()()abcabc)cb(ac)ba(即：成立吗？常用公式222(1)()2abaabb22(2)()()ababab222||6,||4,b60,,(2)(3),(),||abaababababab已知与的夹角为，求当且仅当，不共线与且，，例、已知)(4||3||baba？互相垂直与向量，为何值时bkabkak例、354,3k2kabababab:已知，向量与的夹角为，如果（）（）,求实数的值.6332baababab4:已知，向量与的夹角为，且（）（）=-72,求.练习1、练习1、4141527-7228322222()２思考　ａｂａｂａｂ　9例5已知ａ=７,ｂ=４，ａｂ求ａｂ.利用平面向量数量积求解长度问题||aaa7小结：cos1SFSFW、物理背景：cos2baba、数量积：.cos3的乘积影方向上的投在与的长度等于几何意义：数量积、babaaba