§2.2.2对数函数及其性质一般地,如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab,那么数b叫做以a为底N的对数,记作bNaloga叫做对数的底数,N叫做真数。复习对数的概念定义:由前面的学习我们知道:如果有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,···,1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细胞?如果知道了细胞的个数y,如何确定分裂的次数x呢?2xy由对数式与指数式的互化可知:2logxy上式可以看作以y为自变量的函数表达式对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与之对应,把y看作自变量,x就是y的函数,但习惯上仍用x表示自变量,y表示它的函数:即2logyx这就是本节课要学习的:0(logaxya)1a定义:函数,且叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。,对数函数一个函数为对数函数的条件是:①系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③真数为单个自变量x.判断是不是对数函数5log5xy(1))2(log2xy(2)xy5log2)3(xyx2log)4(55(5)log1(6)log(7)log5xyxyxy(×)(×)(×)(×)(×)(×)(×)哈哈,我们都不是对数函数你答对了吗???我们是对数型函数请认清我们哈知识应用应用一定义问题xayalog)3(21.函数是对数函数,a=_____2解:由对数函数的定义有a2-3=1a>0a≠1∴a=2a=-2或a=2a>0a≠1解得图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a1)定义域:值域:恒过点:在R上是单调在R上是单调a10a1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数指数函数的图像及性质当x0时,y1.当x0时,.0y1当x0时,y1;当x0时,0y1对称性:和的图像关于y轴对称.xya=1()xya=xya在同一坐标系中用描点法画出对数函数的图象。xyxy212loglog和作图步骤:①列表,②描点,③用平滑曲线连接。探究:对数函数:)1,0(logaaxya且对数函数有什么性质呢?列表描点连线21-1-21240yx32114x1/41/2124xy2log210-1-2-2-1012xy21log这两个函数的图象有什么关系呢?关于x轴对称………………y=log1/2xy=log2x2.思考:对数函数:y=logax(a>0,且a≠1)图象随着a的取值变化图象如何变化?有规律吗?对数函数的图象。xyxy313loglog和猜猜:21-1-21240yx32114xy2logxy21logxy3logxy31log底大图右y=1观察右边图象,回答下列问题:问题一:图象分别在哪几个象限?问题二:图象的上升、下降与底数a有联系吗?问题三:图象中有哪些特殊的点?答四个图象都在第____象限。答:当底数__时图象上升;当底数____时图象下降.答:四个图象都经过点____.一、四1a01a(1,0)011xxy2logxy3logxy31logxy21log观察右边图象,回答下列问题:问题五:函数与图象有什么关系?2logyx问题四:指数函数图像是否具有对称性?答:关于x轴对称。答:不关于y轴对称不关于原点中心对称2logyx12logyx011xxy2logxy3logxy31logxy21log图象性质a>10<a<1定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即当x=1时,y=0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数yx0yx0(1,0)(1,0)2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质当x1时,y0当x=1时,y=0当0x1时,y0当x1时,y0当x=1时,y=0当0x1时,y0对称性:和的图像关于y轴对称.logayx1logayx例1已知函数f(x)为对数函数,且图象过点(4,2),求f(1),f(8)为对数函数解:)(xf32log8log)8(01log)1(log)(2(244log224)(log)(322222ffxxfaaaxfxxfaa舍)),过(又设)10aa且(与对数函数有关的定义域问题求下列函数的定义域.(1)y=log(x-1)(3-x);(2)y=log2x+1-1;(3)y=lg(x+1)+3x21-x.[解题过程](1)要使函数y=log(x-1)(3-x)有意义,只须使3-x0x-10x-1≠1∴1x2或2x3.∴函数y=log(x-1)(3-x)的定义域为(1,2)∪(2,3).(2)要使函数y=log2x+1-1有意义,只须使x+10log2x+1-1≥0,∴x-1x+1≥2∴x≥1.∴函数y=log2x+1-1的定义域为[1,+∞).(3)要使函数有意义,需x+101-x0,即x-1x1.∴-1x1,∴函数的定义域为(-1,1).归纳:求函数的定义域应从以下几个方面入手(1)分母不能为0;(2)函数含有开偶次方运算时,被开方式必须大于等于0;(3)有对数运算时,真数必须大于0.底数必须大于0且不为1.(4)0次幂的底数不能为零.(1)lgyx0.5(2)1logyx21(3)logyx练习1.求下列函数的定义域练习2:求下列函数的定义域:(3)(4))86(log2)3(xxyx)1(log21xy2logxya)4(logxya(1)(2)0xx4xx4xx2,132 2(2)1,1(1)() (1) ()(log) ) (43xfogffxxffxx对数函数的单调性的应用(目标)已知函数的定义域为,求的定义域(2)的定义域反馈:已知函数的定义域为[0,1],求函数的定义域练习3练习1:求函数的定义域?()lg()xxyxx2023221lg()xxxxx220210210320解:要满足不等式组解之,得函数定义域为{|}xxxx132122且且第二课时对数函数的性质—比较大小默写对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质图象性质a>10<a<1定义域:值域:过定点单调性当x1时,当0x1时,当x1时,当0x1时,1:函数的图像过定点_______.log(21)(0,1)ayxaa变式:函数的图像过定点_______.2)1(logxya222()log(1)2()log()log(1)2fxxfxxfxx函数是有怎样平移而来?那么函数恒过定点()•例1.比较下列各组中,两个值的大小:•(1)log23.4与log28.5(2)log0.31.8与log0.32.7log23.4log28.5y3.4xy2logx108.5∴log23.4log28.5解法1:画图找点比高低解法2:利用对数函数的单调性考察函数y=log2x,∵a=21,∴函数在区间(0,+∞)上是增函数;∵3.48.5∴log23.4log28.5•例1.比较下列各组中,两个值的大小:•(1)log23.4与log28.5(2)log0.31.8与log0.32.7解法2:考察函数y=log0.3x,∵a=0.31,∴函数在区间(0,+∞)上是减函数;∵1.82.7∴log0.31.8log0.32.7(2)解法1:画图找点比高低小结•例1.比较下列各组中,两个值的大小:•(1)log23.4与log28.5(2)log0.31.8与log0.32.7小结比较两个同底对数值的大小时:1.观察底数是大于1还是小于1(a1时为增函数0a1时为减函数)2.比较真数值的大小;3.根据单调性得出结果。注意:若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论即0a1和a1例1.比较下列各组中,两个值的大小:•(3)loga5.1与loga5.9解:①若a1则函数在区间(0,+∞)上是增函数;∵5.15.9∴loga5.1loga5.9②若0a1则函数在区间(0,+∞)上是减函数;∵5.15.9∴loga5.1loga5.9你能口答吗?10100.50.522331.51.5log6log8log6log8log0.6log0.8log6log8 变一变还能口答吗?10100.50.522331.51.5loglogloglogloglogloglognmnmnnm 则m n 则m n 则m nm 则 m n<>><<>><<<<<练习1:比较大小①log761②log0.531③log671④log0.60.11⑤log35.10⑥log0.120⑦log20.80⑧log0.20.60例2.比较下列各组中两个值的大小:⑴log67,log76;⑵log3π,log20.8.解:⑴∵log67>log66=1log76<log77=1∴log67>log76⑵∵log3π>log31=0log20.8<log21=0∴log3π>log20.8注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小提示:logaa=1提示:loga1=0xya1logxya2logxya3log3211aaax1yo11a2a3a(1)底数a1时,底数越大,其图象越接近x轴。“图低底大”1oyxxa1logxa2logxa3log1321aaa1a1a2a3(2)底数0a1时,底数越小,其图象越接近x轴。“图高底小”如图所示的是对数函数1:logaCyx2:logbCyx3:logcCyx1C2C3C4C则与1的大小关系是:,,,abcd1badc4321-1-2-3246810xyOxyCdlog:4在第一象限,函数的底数从左到右逐渐增大。底数a1时,底数越大,其图象越接近x轴。补充性质二底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。补充性质一图形10.5y=logx0.1y=logx10y=logx2y=logx0xy底数0a1时,底数越小,其图象越接近x轴。例3:比较下列各题中的两个值的大小。(1)、log25与log35(2)、log1/22与log1/32底数不同,真数相同357log6,log10,log14,,abcabc能力提升:设则的大小关系是21211(3)loglog33例4将0.80.90.90.71.1log,log,1.1由小到大排列0.911.11.1loglog00.810.70.7loglog00.80.70.70.7loglog1由指数函数的单调性可知:0.901.11.11∴0.80.90.7log1.1∴从小到大的排列是:0.90.80.91.10.7loglog1.1∴0.90.81.10.7loglog又解:利用对数函数的单调性可知:练习:比较下列各组数中两个值的大小6.0log,5.0log)1(32324.1log,6.1log)2(5.15.18.0loglog)3(323loglog)4(33log3log)5(2.05.08.0log3.0log)6(231二、对数函数的图象和性质;三、比较两个对数值的大小.一、对数函数的定义;3.对数函数的图象与性质:函数y=logax(a>0且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域奇偶性值域定点单调性函数值符号1xyo1xyo非奇非偶函数非奇非偶函数(0,+∞)R(1,0)即x=1时,y=0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1