九年级数学-二次函数全章(基础)全章专题复习讲义--无答案

第1页二次函数)0(2aaxy与)0(2acaxy的图象与性质【要点梳理】要点一、二次函数的概念1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①)0(2aaxy；②)0(2akaxy；③)0()(2ahxay；④)0()(2akhxay，其中abh2，aback442；⑤)0(2acbxaxy.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1.一般式：2yaxbxc(a，b，c为常数，0a)；2.顶点式：2()yaxhk(a，h，k为常数，0a)；3.两根式：12()()yaxxxx(0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标)(或称交点式).要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.第2页因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大(小)值y=ax2a0向上(0，0)y轴x0时，y随x增大而增大；x0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a0向下(0，0)y轴x0时，y随x增大而减小；x0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.第3页│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象(1)0a(2)0a2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)yaxca的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)yaxcac2(0,0)yaxcac图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当0x时，y随x的增大而增大；当0x时，y随x的增大而减小；jxOy20yaxcccjyxOc20yaxccjyxOc20yaxccjyxOc20yaxcc第4页当0x时，y随x的增大而减小.当0x时，y随x的增大而增大.最大(小)值当0x时，yc最小值当0x时，yc最大值3.二次函数20yaxa与20yaxca之间的关系；(上加下减).20yaxa的图象向上(c＞0)【或向下(c＜0)】平移│c│个单位得到20yaxca的图象.要点诠释：抛物线2(0)yaxca的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)yaxa的形状相同．函数2(0)yaxca的图象是由函数2(0)yaxa的图象向上(或向下)平移||c个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x=0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数的概念【例1】下列函数中，是关于x的二次函数的是________(填序号)．(1)y=－3x2；(2)21yxx；(3)y=3x2－4－x3；(4)2123yx；(5)y=ax2+3x+6；(6)223yxx．【变式】如果函数232(3)1mmymxmx是二次函数，求m的值．类型二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质【例2】函数y=x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，14)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“=”号)．【变式1】二次函数2yax与22yx的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a．【变式2】不计算比较大小：函数2yx的图象左侧上有两点A(a，15)，B(b，0.5)，则ab．第5页类型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质【例3】求下列抛物线的解析式：(1)与抛物线2132yx形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(0，－5)的抛物线；(2)顶点为(0，1)，经过点(3，-2)并且关于y轴对称的抛物线．【例4】在同一直角坐标系中，画出2yx和21yx的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．(1)抛物线21yx向________平移________个单位得到抛物线2yx；(2)抛物线，21yx开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线21yx，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．第6页二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质【要点梳理】要点一、函数2()(0)yaxha与函数2()(0)yaxhka的图象与性质1.函数2()(0)yaxha的图象与性质2.函数2()(0)yaxhka的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0yaxhka≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上(h，0)x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下(h，0)x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．第7页2.平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：(1)cbxaxy2沿y轴平移:向上(下)平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2(或mcbxaxy2)(2)cbxaxy2沿x轴平移：向左(右)平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2(或cmxbmxay)()(2)【典型例题】类型一、二次函数2()(0)yaxhka图象及性质【例1】将抛物线22(1)3yx作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【变式】将抛物线23yx向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．第8页【例2】把抛物线cbxxy2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2xy，求b，c的值.【变式】二次函数21(3)42yx的图象可以看作是二次函数212yx的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．类型二、二次函数2()(0)yaxhka性质的综合应用【例3】已知21()yaxh与2ykxb的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当12yy时，写出自变量x的取值范围．【例4】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212yx，2132yx，2132yx．(1)观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)请你说出抛物线212yxc的开口方向，对称轴及顶点坐标．第9页二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质【要点梳理】要点一、二次函数2(0)yaxbxca与2()(0)yaxhka之间的相互关系1.顶点式化成一般式从函数解析式2()yaxhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称2()yaxhk为顶点式，将顶点式2()yaxhk去括号，合并同类项就可化成一般式2yaxbxc．2.一般式化成顶点式2222222bbbbyaxbxcaxxcaxxcaaaa22424bacbaxaa．对照2()yaxhk，可知2bha，244acbka．∴抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa．要点诠释：1．抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)yaxbxca的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对第10页称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再