椭圆知识点总结及经典习题

1圆锥曲线与方程--椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。2．标准方程：222cab①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221xymn或者mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222byax（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222bxay（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4．离心率2（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作e（10e），22221()beaac奎屯王新敞新疆e0是圆；e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5．椭圆的的内外部（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.6.几何性质（1）点P在椭圆上，最大角12122max,FPFFBF（2）最大距离，最小距离7.直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法3例题讲解：一.椭圆定义：１．方程10222222yxyx化简的结果是2．若ABC的两个顶点4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是3.已知椭圆22169xy＋=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.2.椭圆22425100xy的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3．椭圆2214xym的焦距为2，则m=。4．椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点(4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为。2．焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为3．焦点在x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为4.已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0），求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆224936xy共焦点，且过点(3,2)的椭圆方程。4四．焦点三角形1．椭圆221925xy的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F的弦，则2ABF的周长是。2．设1F，2F为椭圆400251622yx的焦点，P为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？3．设点P是椭圆2212516xy上的一点，12,FF是焦点，若12FPF是直角，则12FPF的面积为。变式：已知椭圆14416922yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点．若6021PFF，求21FPF的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆1422myx的离心率为21，则m2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在ABC△中，3,2||,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．六、最值问题：1、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。2.椭圆2214xy两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，5七、弦长、中点弦问题1、已知椭圆1422yx及直mxy线．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．2已知椭圆1222yx，(1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程（2）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；同步测试1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线2、椭圆221169xy左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______3已知方程22111xykk表示椭圆，则k的取值范围是()A-1k1Bk0Ck≥0Dk1或k-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)65.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________6已知椭圆的方程为22143xy，P点是椭圆上的点且1260FPF,求12PFF的面积7.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为8.椭圆13610022yx上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是9．已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长10、椭圆32x＋22y=1与椭圆22x＋32y=(0)有(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对11、椭圆192522yx与125922yx（0k9）的关系为(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴12.点P为椭圆1162522yx上的动点,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF的最小值为__________,此时点P的坐标为________________.7感受高考1．分别过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A．(0,1)B.0，22C.22，1D.0，222．椭圆x2100＋y264＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是()A.6433B.9133C.1633D.6433．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()4已知点F，A分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则椭圆的离心率等于()A.3＋12B.5－12C.3－12D.5＋125．已知椭圆x24＋y22＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝83；正确结论的个数为()A．3B．2C．1D．06．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．88若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．9．已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；.11．椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝12.(1)求椭圆E的方程；