数列上下极限的不同定义方式及相关性质.

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要……………………………………………………….…...01一、数列的上极限、下极限的定义………………………………….011.用“数列的聚点”来定义…………………………………...012.用“数列的确界”来定义…………………………………...023.数列上、下极限定义的等价性…………………………….....02二、数列的上、下极限的性质及定理……………………………….04参考文献……………………………………………………….14英文摘要………………………………………………………..15数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理.关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式：1.用“数列的聚点”来定义定义1若在数a的任一邻域内都含有数列nx的无限多项，则称a为数列nx的一个聚点.例1数列{(1)}1nnn有聚点1与1；数列{sin}4n有221,,0,22和1五个聚点；数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义2有界数列nx的最大聚点a大与最小聚点a小分别称为数列nx的上极限和下极限，记作limna大;limnnax小.例2lim(1)11nnnn,lim111nnnlimsin14nn,limsin14nn11limlim0nnnn2.用“数列的确界”来定义定义3任给数列nx，定义limlimsup{}nknnknxx;limliminf{}nknknnxx（1）分别称为数列nx的上极限和下极限.若定义1中的a可允许是非正常点或，则：任一点列nx至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为().于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限().例3lim((1)1)nnn,lim(1)nnn,lim(1)nnn3.数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即limlimsup{}nknnknaxx大；limliminf{}nknknnaxx小.证明：如果limsup{}knknx，由于sup{}kknx关于n单调递减，所以sup{}kknx，nN.于是，可取1n（自然数）1..1nstx,又可取2,n221,..2,,nnnstx所以，得到数列nx的子列nkxk.这就证明了为数列的聚点，且为最大聚点a大.由此可得limlimsup{}nknnknaxx大;如果limsup{}knknx，则limsup{}knknx或实数.设a数列nx的任一聚点，则必有nx的子列，inxai.,n,,iinnin当时有sup{}inkknxx，limsup{}inkiknaxx，limsup{}knknax,所以，数列nx的最大聚点满足limlimsup{}nknnknxx.另一方面，lim,nnyx易见，y,+中最多含有数列nx中的有限多项.因此，,N当kN时，有kxy，从而，当nN时，有sup{},kknxy由此可得limsup{}knknxy.令limnnyx，推出limsup{}limknnnknxx.综合上述，有limlimsup{}nknnknaxx.类似的可证明或应用上式于nx可证得limliminf{}nknknnaxx小.如果liminf{}knknx，由于inf{}kknx关于n单调递减，所以inf{}kknx，对nN.于是，可取自然数1n使得11nx,又可取自然数2n12nn使得22nx……所以，得到数列nx的子列{knx}.这就证明了为数列的聚点，且为最小聚点小a.由此可得limliminf{}nknknnaxx小;如果liminf{}knknx，则liminf{}knknx或实数.设a数列nx的任一聚点，则必有nx的子列，inxai.任意的n是自然数,,iinnin当时有knxinf{}kknxliminf{}inkiknaxxliminf{}knknax所以，数列nx的最小聚点满足limnnxliminf{}knknx.另一方面，对任意的ylimnnx易见，（-],y中最多含有数列nx中的有限多项.因此，存在N是自然数当kN时，有yxk，从而，当nN时，有inf{}kknxy，由此可得liminf{}knknxy.令y[limnnx]，推出liminf{}knknxlimnnx.综合上述，有limliminf{}nknknnaxx小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列nx与数列ny，则数列的上、下极限有以下性质性质1limlimnnnnxx；（2）性质2limlimlimnnnnnnxAxxA例4用上下极限理论证明：若nx是有界发散数列，则存在nx的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是limlimnnnnxx，于是存在nx的两个子列''',kknnxx，使'limlimknnnnxx，''limlimknnnnxx，即存在nx的两个子列收敛于不同的极限.性质3（保不等式性质）设有界数列nx，ny满足：存在00N,当0nN时有nnxy，则limlimnnnnxy;limlimnnnnxy;特别，若,为常数，又存在00N，当0nN时有na，则limlimnnnnaa性质4设0,0,(1,2,)nnxyn，则limlimlimlimlimnnnnnnnnnnnxyxyxy（3）limlimlimlimlimnnnnnnnnnnnxyxyxy（4）例5证明：若nx收敛，则对任意ny(1,2,)n，有limlimlimnnnnnnnxyxy(0)nx证明：分三种情况讨论1、若lim0nny，则ny中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00nnnnnyyyyy当时，当时则0ny，且limlimnnnnyy，对nxny应用（4）有limlimlimlimlimnnnnnnnnnnnxyxyxy因nx收敛，所以limlimlimnnnnnnxxx，故上式表明limlimlimlimlimnnnnnnnnnnnxyxyxy但limlimlimnnnnnnnnnxyxyxy（）0nx（因）所以limlimlimnnnnnnnxyxy2、若limnny，在限制条件下，lim0nnx，因此n充分大时有0nx，这时等式明显成立.3、若lim0nny，可取充分大的正常数C0,使得lim()0nnyC，如此应用1、的结果，lim()limlim()nnnnnnnxyCxyC再根据（3），此即limlimlimlimlimnnnnnnnnnnnxyxCxyxC从而limlimlimnnnnnnnxyxy，证毕.性质5在不发生())+(情况下，有如下不等式成立：1、limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnxyxyxy2、limlimlim()nnnnnnnxyxy3、lim()limlimnnnnnnnxyxy事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}nx；{}{0,2,0,2,0,2,}ny，这时{}{1,2,1,2,1,2,}nnxylimlim0lim()1nnnnnnnxyxylim()2limlim3nnnnnnnxyxy例6证明：若{}nx收敛，则对任意ny(1,2,)n，有lim()limlimnnnnnnnxyxy证：我们已有limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnxyxyxy注意{}nx收敛，因此limlimlimnnnnnnxxx，所以上式即为limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnxyxyxy即成立.例7证明：（1）limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnxyxyxy（2）limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnxyxyxy证：先证：lim()limnnnnxx（1）设limnnxa，则依上极限定义，0，数列{}nx中至多只有N项大于a，而有穷项小于a，即对{}nx，至多有N项小于a，而有穷项大于a，所以依下极限定义，有lim()nnxa，即lim()limnnnnxx.设limnnxa，limnnyb，lim()nnnxyab用反证法，设cab，依下极限定义，0，N,当nN时，有nnxyc不妨设1()2abc，则当nN时，nnxycab又有limnnxa，limnnyb，依下极限定义，则当1nN时，2nxa，当2nN时2nyb，由此推出矛盾，故abc，即limlimlim()nnnnnnnxyxy，又令nnndxy，则()nnnxdx.于是limlim()limnnnnnndyx，由于lim()limnnnnyy，所以limlim()limlimnnnnnnnnndxyxy（2）以ny及nx分别代替题（1）中的nx与ny，有lim()lim()lim()limlimnnnnnnnnnnnyxxyyx，由lim()limnnnnxx得limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnxyxyxy，即limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnxyxyxy，当{}:0,1,2,0,1,2,nx；{}:2,3,1,