第三讲多属性决策分析

多属性多指标综合评价特点•指标间的不可公度性，指标之间没有统一量纲，难以用同一标准进行评价；•指标之间可能存在一定的矛盾性，某一方案提高了这个指标，却可能损害另一指标。上述问题即为多属性决策方法研究的问题。基本概念•由多个相互联系、相互依存的评价指标，按照一定层次结构组合而成，具有特定评价功能的有机整体，称为多属性决策的指标体系。准备工作和方法•决策指标的标准化•决策指标权重的确定•加权和法•加权积法•Topsis法第一节多属性决策的准备工作多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。一、决策矩阵经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。(困难，列方程和解方程的关系，理论和实践之间的关系)设有n个决策指标fi（1≤j≤n），m个备选方案ai1≤i≤m），m个方案n个指标构成的矩阵X=(xij)m×n称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优；成本型指标（逆向指标），数值越小越优。决策矩阵(属性矩阵、属性值表)方案集X={xxxm12,,,}方案xi的属性向量Yi={yi1,…,yin}当目标函数为fj时,yij=fj(xi)各方的属性值可列成表(或称为决策矩阵):y1…yj…ynx1y11…yj1…yn1………………xiyi1…yij…yin………………xmym1…ymj…ymn例:学校扩建(要求扩建的学校既要满足学生就近入学的要求，又要使扩散的费用尽可能的少。)学校序号费用(万元)平均就读距离km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例:学校扩建(要求扩建的学校既要满足学生就近入学的要求，又要使扩散的费用尽可能的少。)学校序号费用(万元)平均就读距离km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4研究生院试评估的部分原始数据ji人均专著(本/人)y1生师比y2科研经费(万元/年)y3逾期毕业率(%)y410.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2指标Xj替代方案Ai期望利润(万元)产品成品率（%）市场占有率（%）（万元）投资费用产品外观自行设计（A1）6509530110美观国外引进（A2）7309735180比较美观改建（A3）520922550美观投资决策数据预处理（1）属性值有多种类型。•有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；•有些指标的值越小越好，称作成本型。•另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量，也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。（2）非量纲化•多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。•在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。（3）归一化•原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千、万间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位或小数之间。•为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到［0，1］区间上。103二、决策指标的标准化指标体系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之间无法进行比较。将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。有三个作用：1）变为正向指标2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣3）归一化，把数值均转变为[0,1]区间上，消除指标值标度差别过大的影响。下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况选择一种或几种对指标值进行处理。指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。1、向量归一化）的欧式距离的场合。（如理想点和负理想点与某种虚拟方案向，常用于计算各方案本方法不改变属性的方。，即列向量的模为并且每列的平方和等于阵。显然称为向量归一标准化矩则矩阵中，令设决策矩阵11,10)()1,1(,)(12ijnmijmiijijijnmijyyYnjmixxyxX2、线性比例变化法。一定为为最优值，但最劣值不正向指标，化为，并且正、逆向指标均经过变换之后，均有阵。称为线性比例标准化矩矩阵则，取对于逆向指标则，取中，对于正向指标设决策矩阵0110)()1,1(,,min)1,1(,,0max)(*1**1*ijnmijijjijijmijjjijijijmijjnmijyyYnjmixxyxxfnjmixxyxxfxX3、极差变换法变换。－称标准这是一个线性变换，又为最劣值。为最优值，正向指标，化为，并且正、逆向指标均经过变换之后，均有阵。称为极差变换标准化矩矩阵则，取对于逆向指标则，取中，对于正向指标设决策矩阵100110)()1,1(,,max,min)1,1(,,min,max)(*11**11*ijnmijjojijojijijmiojijmijjojjojijijijmiojijmijjnmijyyYnjmixxxxyxxxxfnjmixxxxyxxxxfxX（3）最优值为给定区间时的变换设给定的最优属性区间为[yj0,yj*]1-(yj0-yij)/(yj0-yj’)若yij＜yj0zij=1若yj0≤yij≤yj*1-(yij-yj*)/(yj”-yj*)若yij＞yj*其中,yj’为无法容忍下限,yj”为无法容忍上限。4、标准样本变换法。，方差为矩阵每列的均值为经过变化之后，标准化。称为标准样本变换矩阵矩阵样本均方差＝其中，样本均值中，令设决策矩阵10)()(11,1)1,1(,)(121nmijmijijjmiijjjjijijnmijyYxxmsxmxnjmisxxyxX5、定性指标的量化处理如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分为5级、7级、9级等。6、原始数据的统计处理zij=_max_jjjijyyyy(1.00-M)+M其中,yj_=11myijim是各方案属性j的均值,m为方案数,M的取值可在0.5-0.75之间.上式可以有多种变形,例如:zij'=01075.()/._yyijjj其中j为属性j的均方差,当高端与均值差大于2.5j时变换后的值均为1.00.这种变换的结果与专家打分的结果比较吻合.三、决策指标权的确定多属性决策问题的特点，也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性的不可公度。不可公度性通过决策矩阵的标准化处理得到部分解决；解决目标间的矛盾性靠的是引入权(weight)这一概念。权，又叫权重，是目标重要性的度量。权的概念包含并反映下列几重因素：①决策人对目标的重视程度；②各目标属性的差异程度；③各目标属性的可靠程度确定权重是非常困难的，因为主观的因素，权重很难准确。确定权的方法有两大类：主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标的权重；客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某种方法测定属性指标的权重。两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。下面介绍几种常用的确定权的方法1、相对比较法相对比较法是一种主观赋权法。将所有指标分别按行和列，构成一个正方形的表，根据三级比例标度，指标两两比较进行评分，并记入表中相应位置，再将评分按行求和，最后进行归一化处理，得到各指标的权重。),,2,1(,,1,5.0,)(,0,5.0,1,,,,,11121niaafaaaaAffffffaafffnninjijnjijiijiijiinmijjijijiijijn的权重系数：指标显然评分值构成矩阵不重要时；比当同样重要时；比当重要时；比当：三级比例标度的含义是设为对比较评分，其分值按三级比例标度两两相个决策指标设有例43使用本方法时要注意：1、指标之间要有可比性；2、应满足比较的传递性（一致性）。2、连环比较法（古林法）连环比较法也是一种主观赋权法。以任意顺序排列指标，按顺序从前到后，相邻两指标比较其相对重要性，依次赋以比率值，并赋以最后一个指标的得分值为1；从后往前，按比率依次求出各指标的修正评分值；最后进行归一化处理，得到各指标的权重。),,2,1(,)4()1,,2,1(,,1)3(;1)1,,2,1(,1)(),21(2)(),31(3)1,,2,1()2(,,,)1(,,,,111112121nikknikrkrkfrniffffffrnirfffnfffnniiiiiiiinnniiiiiiiinn标的权重，即归一化处理，求出各指值：计算各指标的修正评分根据修正值赋以计算各指标的修正值。同样重要。和当；或相反较重要比当；或相反重要比当的比率值，比率值邻两指标相对重要程度从前到后，依次赋以相；，不妨设为个指标以任意顺序排列将个决策指标设有例题（P44）用连环比率法计算例2－1中决策指标的权重。本方法容易满足传递性，但也容易产生误差的传递。指标if比率值ir修正评分值ik指标权重值iw1f31/20.202f11/60.07f11/60.074f1/31/60.025f1/21/20.206f110.402.51.013、特征向量法应用前两种方法时，如果目标属性比较多，一旦主观赋值一致性不好时也无法进行评估。为了能够对一致性可以进行评价，Saaty引入了一种使用正数的成对比较矩阵的特征向量原理测量权的方法，叫做特征向量法。这种方法在层次分析法(AHP)采用，也可以用在其他多属性决策。下面我们讲解一下原理。nnnnnnnaaaaaaaaaAAnfffn21222211121121)(:,,,,是判断矩阵注意，不是决策矩阵，得矩阵两比较，个指标的重要性进行两决策者对个决策指标设有3.1权重的求解思路假设各属性真实的权重是nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAA212221212111212222111211:＝有下面的关系是完全准确的话，一定如果矩阵1),,,(121niiTnWjkikijjiijaaaaankji,1,,,2,1,,都有性质：并且对于任意是正的，反矩阵，即所有元素都这就是所谓一致性正互的特征向量。对应正是最大特征值的最大特征值，而是矩阵这里有下面的关系是完全准确的话，一定如果矩阵得乘以nWAnnWnAWAWAnnnnnnnnTn212121222121211121:),,,(因此权重向量的求解方法：W①用幂法原理求矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。②算术平均法。对于一个一致的判断矩阵，它每一列归一化后，就是相应的权重向量；当判断矩阵不太一致时，每一列归一化后就是近似的权重向量，可以按行相加后再归一化（相当算术平均值）。1）将判断矩阵按列归一化（即使列和为1）：2）按行求和得一向量：3）再向量归一化：所得即为A的特征向量的近