空间向量的数乘运算(公开课)

3.1.2空间向量的数乘运算回顾aOb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.ba一、空间向量的数乘：2、空间向量的数乘的性质0（1）当时，aa与同向0（2）当时，aa与反向1、定义：aa实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘a0（3）当时，0,0a当00a或有a3a||)4(a||||a3ababa)(aa)()(3、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：（1）数乘分配律1：aaa)(（2）数乘分配律2：1、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量二、空间中的共线向量（或平行向量）,//)2(ba若,//ab则（3）非零共线向量的传递性：,//,//,0cbbab若,//ca则（1）零向量与任一向量共线，,//0a即?a,a,?a,b,:bbbaba有什么位置关系时与反过来有什么位置关系与如果与对空间任意两个向量探究ba2ba3b（4）空间共线向量定理：对空间任意两个向量),0(,bba)0(//bba有且只有一个实数，使ba思考1：为什么要强调?0b思考2：这个定理有什么作用？1、判定两个向量是否共线2、判定三点是否共线OABPa若P为A,B中点,则12OPOAOB向量参数表示式推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式其中向量叫做直线的方向向量.laalOPOAtal若则A、B、P三点共线。OPOAtAB()APtAB或(1)OPxOAyOBxy若，则A、B、P三点共线。A、B、P三点共线ABtOAOPABtAP)1(APyxOByOxO练习1．已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，OP→＝13OA→＋βOB→，则β＝________.32结论1:三、共面向量:1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？abbyxpab共线，，分别与bbya,ax确定的平面内，都在bbya,ax确定的平面内，，并且此平行四边形在ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPpCpxby2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，byxpabpab则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y使abABPp推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使ACyABxAPCOOCOBOAOP(____)(____)(_____)abABPp对空间任一点O,有填空：1-x-yxyACyABxOAOPC③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.③由此可判断空间任意四点共面共面向量定理的剖析如果两个向量a，b不共线,★向量c与向量a，b共面存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb★c＝xa＋yb向量c与向量a，b共面(性质)(判定)P、A、B、C四点共面ACyABxAP共面ACABAP,,)1(APzyxOCzOByOxO结论2:解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得ACyABxAP四点共面。从而共面且有公共点，，不共线，所以，又所以所以即共面，因为PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB,,,3131,33)()(332)1(OAOPOCOB3)1(例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？OCOBOAOP4)2(练习2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.OM→＝3OA→－2OB→－OC→B．OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0C．MA→＋MB→＋MC→＝0D．OM→＝14OB→－OA→＋12OC→解析：C中MA→＝－MB→－MC→.故M、A、B、C四点共面．C练习1．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.152练习3.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面C例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG。证明：由面面平行判定定理的推论得：②EFOFOEkOBkOA()kOBOAkAB由①知EGkAC//EGAC//EFAB//EGAC面面ABCDOEFGHAMCGDB1（a+b)-c2)1（a+b+c3例3:如图,已知空间四边形ABCD中，向量若M为BC的中点，G为ΔBCD的重心，试用表示下列向量：,,,cADbACaABc,b,aDM)1(AG)2(例4平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例4平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.ABCDA1B1D1C1MN共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两向量平行判断四点共面，或三向量共面)0(//bbabapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结共面)1(APyxOByOxO)1(zyxOCzOByOAxOP