自由振动

使用教材：刘延柱等编著.《振动力学》.高等教育出版社，2002主讲人：何锃华中科技大学土木工程与力学学院力学系《振动力学》讲义第一章自由振动§1.1线性系统的自由振动§1.2相轨迹与奇点§1.3保守自治系统的相平面方法§1.4耗散自治系统的相平面方法§1.5静态分岔第一章自由振动•定义：系统受到初始扰动的激发所产生的振动称为自由振动。•自由振动系统与外界没有能量的交换，振动的形成和演变机制，是通过将初始激发能量在系统内传递和转换实现的。•本章只研究单自由度系统的振动规律。§1.1线性系统的自由振动1.无阻尼自由振动如图，质量—弹簧系统是最简单的单自由度无阻尼振动系统，由Newton定律，其动力学方程为(1.1)令方程（1.1)变成标准形式(1.2)0kxxmmk/0020xx图1.1这是一个二阶、常系数、齐次的线性常微分方程，可以用试凑法或特征值法求解。代入（1.2)式，得到相应的特征值方程为tex2200为虚数单位，＝特征值为10ii00000000cossincossincossinittitteetiteetittt方程复数形式的特解为和实数形式的特解为和tCtCtx0201sincos)(方程的通解为常数21CC、由初始条件确定，设00)0(,)0(:0xxxxt可得方程（1.1）的定解为)(tan,)()sin()(sincos)(000120020000000xxxxAtAtxtxtxtx其中或(1.3)(1.4)(1.5)为了提高应用能力，应熟记公式（1.3）～（1.5)。（1.3）或（1.4）式表明位移是时间的简谐函数，代表位移在平衡位置附近、以简谐规律随时间作周期性变化，称为简谐振动。因此，无阻尼线性系统的自由振动是简谐振动，如图1.2所示。图1.2020030)sin(0tA振动的大小和起始状态由振幅A和初相角两个常数确定，即由初始条件确定，它们与系统本身无关。0振动的波动特性（简谐特性），由参数确定，它只取决于系统本身的物理参数，同时它表征位移周期性变化的快慢，再由于它的量纲为『角度/时间』，因此参数0称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率。系统的振动周期T和振动频率为2//1,/200TfTT的标准单位为s，f的标准单位为Hz，1Hz＝1周/s。简谐振动一旦开始，便会按等幅永远振动下去。2．单自由度系统固有频率的求法方法1：方程法（1.2）的标准形式，自然得到系统的固有频率。方法2：能量法转变，因此系统的总能量不变，对于机械系统，则机械能守恒或广义机械能守恒。即T+V=const.这可以对方程（1.1）积分，得到印证.const212122kxxm如果T=Tmax时，V=0，则必有（1.7）maxmaxTV由此可求出固有频率。代入（1.7）式，得)cos()(),sin()(000tAtxtAtx将(1.8)2max202max2121kAVmAT例1.1试计算弹簧的等效质量、考虑等效质量后系统的固有频率。解：设弹簧的长度为了l,单位长度的质量为r1,假定弹簧的变形与离固定点的距离x成正比,弹簧端点的位移为x。将微元长度dx的动能在整个弹簧范围内积分，以计算弹簧的动能T1得到:xxmxOlxd2211011()()223llmxTdxlxrx其中lmlr1为弹簧质量，令弹簧的1/3质量为弹簧的等效质量，则弹簧质量的系统总动能为：21)3(21xmmT)(b)(a弹簧的势能与弹簧质量无关，仍利用能量平衡公式，导出考虑弹簧的系统固有频率为01/3kmm例1.2如图所示的系统中，已知ki（i=1，2，3），m,a和b，横杆质量不计，求固有频率。1k2kabm3k例1.2图解：本题为三自由度系统，但是由于中间横担的质量不计，因此可利用横担的静力平衡条件消去两个自由度，最终变为单度系统。设三个弹簧的伸长量为x1、x2、x3，由静力平衡有：11332233()()kxabkxbkxabkxa11xk33xk2xA1x22kx得：33132312kbkaxxxxkabkab，222112233222333322321112221[1]2()()Vkxkxkxbkakkxabkabk223311()22aATmxmxx2112122332212Axxbxaxxxaabababbkakabkabk而：（x3a为m的绝对位移）222233322121[1]2bkakTmxabkabk21230222132313()[()]abkkkmkkakkbkkab得：例1.3质量m1在倾角为a的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图所示。确定系统由此产生的自由振动。解：碰撞后系统的总质量为m1+m2，设其偏离平衡位置的振动位移为x(x斜向上为正)，则系统的振动方程为：0)(21kxxmm10sinmgxka再来确定初始条件:设碰撞完成瞬时为时间零点，因为碰撞过程中系统位置不变，所以1m2mhkax00012sincos,kxAtBtmm1112sin2,()mgghAmBkmmka11121212sin2()sincos()mgghkkxtmttkmmmmkmma由冲量定理得：11121(),2,mvmmvvghvxghmmmx22110自由振动的通解为：代入初始条件得：自由振动为：3.阻尼系统的自由振动实际振动系统在振动过程中，与外界总是有能量交换的，其中由于摩擦、阻力等会使系统的能量损耗，这些耗能因素称为阻尼。阻尼对系统的振幅变化有很大的影响，因此不能忽略。粘性阻尼，它对振系的阻力大小与振动速度成正比，方向与振动速度相反，如图1.3。应用Newton定律，系统的振动方程为0kxxcxm(1.9)其标准形式为2020xxx(1.10)或02200xxx(1.11)图1.3其中mkmcmcmk12,2,00022002应用特征值法，设，可得对应的特征方程为txe特征值为11202002,1为一个无量纲参数，它决定特征值、进而也决定解的的性态，分别讨论如下：（1）＞１。这时为两个实根，振动方程的通解为)/11(ch)(2/112/11122tAeeCeCexttttx～t曲线如图1.4，x随t衰减，系统作衰减运动，而不作往复运动，因此这种情况系统不作振动。由此，＞１的系统称为过阻尼系统。图1.4（2）=１。这时为两个相等实根，振动方程的通解为12()txeCCtx仍随t衰减，系统作衰减运动，而不作往复运动，因此这种情况系统也不作振动。＝１的情况称为临界阻尼。因为它是区分系统是否作振动的阻尼临界值。（3）１。这时为两个共轭复根，振动方程的通解为)sin()sincos(21tAetCtCexdtddt其中220201d称为有阻尼固有频率。可得方程（1.9）的定解为)(tan,)()sin()()sincos()(000120020000xxxxxxAtAetxtxxtxetxdddtdddt其中或(1.12)(1.13)(1.14)00)0(,)0(:0xxxxt当初始条件为x～t曲线如图1.5，x随t衰减，但系统作幅值衰减的往复周期运动，因此这种情况系统作振动，称衰减振动。由此，１的系统称为欠阻尼系统。系统的振动周期为dT2当１时，阻尼对振动频率和周期影响很小，与无阻尼系统接近，但对幅值的变化影响却很大。相邻两次振动的振幅比值为sinA图1.5()11,lniitTiitTiixxAeeTxAex或可见，振幅按几何级数缩减。比如，＝0.05，T0.1＝0.314，经过10个周期，振幅将减小到初值得4.3%。4.等效粘性阻尼当其它阻尼类型的系统作周期振动时，对阻尼的一种近似处理方法是，将其化为等效粘性阻尼。等效原则：令两种阻尼系统作相同的无阻尼简谐振动，使两者在一个周期内损耗的功相等。2000222002)(cosAcdttAcdtxcdxxcETT课本中给出了三种阻尼的等效粘性阻尼系数：（1）干摩擦阻尼AFcxFFNNd04sgn等效粘性阻尼摩擦力（2）速度平方阻尼AccxxcFddd0238sgn等效粘性阻尼摩擦力（3）结构阻尼02cAE等效粘性阻尼阻尼耗能请同学们自己将这三种阻尼推演一遍！22231clkaml例1.4质量为m，长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图所示。建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在静平衡位置时？解：以角为广义坐标（顺时针向为正），=0对应平衡位置。系统的动力学方程为：Oa例1.4图kc0222kaclml31即：02200化成标准形式：(1)ttBeAet21)(mkla332clamk02200212002,1其中：式（1）的特征方程为：特征值为：方程（1）的解：所以要使系统作自由振动，即x(t)为t的波动函数，必须有：2211,3amkcl即（2）022mglka，00若条件（2）成立，方程（1）的实数解为：应用初始条件，（3）式变为：0()(sincos)tddteAtBt（3）基于201d，初始条件为：0000202()(sincos)1sin()1tddtdtettet（4）21sin其中而)cos(10200tedt由（4）式，得00cos()02由，得，即即得：tedtsin1020000tmax002|()|2tmgltka由（5）式得：02002sin()1tdet（5）21arcsin(1),mdt时有：mdttemsin10200max21(arcsin1)dbbmdttt由此知道，当0dt时，最大，即由（4）式，系统第一次到达静平衡位置的时刻tb为：111()0()0kxcxxmxcxx（1）例1.5求图示所示系统的动力学方程，并给出存在往复性运动的条件。设t=0时质量的位移为x0，速度为v0，弹簧的伸长为a，求运动规律。解：坐标如图，关于x、x1的动力学方程为：x1x例1.5图mDxmkxckx为常数D令：mk20ck02（2）式变为：（2）所以0xmkxckx消去x1，得2002xxxD方程（3）的解为常值特解加上齐次解：（4）式为振动解的条件是：121cmk][11020200tttBeAeeAx（3）（4）这时振动方程的解为：由初始条件：100(0),(0),(0),xaxxxv得其中，式（6）中的第3个方程由（1）式的两个方程相加得到，即有10xx)0()0(10xx因此，