第02章-受迫振动

第二章受迫振动§2.1线性系统的受迫振动§2.2几个简化的实际例子§2.3任意周期激励的响应§2.4非线性系统的受迫振动§2.5线性系统的瞬态响应第二章受迫振动系统在外界激励下产生的振动称为受迫振动，系统的受迫振动状态称为响应。激励既可以是外界提供的直接的力、力偶，也可能是间接作用因素，如温度、电磁场、位移等变化。按激励随时间的变化形式，可分为周期、瞬态和随机激励，本章学习周期和瞬态激励下，系统响应的求解方法和规律。§2.1线性系统的受迫振动1.简谐激励的受迫振动简谐激励力写成复数形式为tieFtF0)(阻尼系统受迫振动方程为tieFkxxcxm0这是一个线性常系数非齐次常微分方程，激励项显含时间变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加法，即方程的全解＝齐次通解＋非齐次特解。齐次通解上一章已求出，为)sin(1tAexdt(2.1)图2.1F(t)非齐次特解用试凑法，设特解为，代入（2.1），得tiXex2icmkHFHX201)(,)(H()是激励频率的复变函数，称为系统的频率响应函数，简称频响函数。H()写成指数形式为21222tan)()(1|)(|)(mkcecmkeHHii于是特解为)(2220)(2)()(||titiecmkFeXx(2.2)(2.4)(2.3)方程（2.1）的全解为为)(||)sin()(tidteXtAetx(2.5)上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持续振动，称为稳态响应。待定常数A、由初始条件确定。响应与频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频率相同，振幅|X|和相位差是激励频率的函数，由（2.3）、（2.4）式，将它们写成无量纲参数形式0022222220020002222222240000111022220||()()()(2)(1/)(2)/(1)(2)22tantantan1FFkXmkmckXXsscskms为频率比。为系统的静态位移，其中000skFX定义振幅放大因子b为||||)(0XXsb，则可得2122212tan)2()1(1)(sssssb幅频特性相频特性幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。(2.6)(2.7)ss相角放大率b图2.2幅频特性曲线和相频特性曲线由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s=1附近，放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共振频率的准确值由db/ds=0导出2021m当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的高度为2121bm时，因此当＝当2/2);0(1,2/2bbbm幅频曲线已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯一确定，定量关系由系统品质因数Q描述：(2.8)(2.9)b211sQ(2.10)12bQ2/Q图2.3显然，对小阻尼系统，可得bb000121222222121122111221)6.2(2212/,3.2,QssssQQm因此所以式解出对应的频率比为由时，当参见图(2.11)(2.12)称为系统的带宽。(2.11)、(2.12)式表明，品质因素Q同时表征了共振峰曲线的高度和陡削程度，即Q越大，则共振峰越高、越陡削。当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1）的解为)cos(||)cossin()cos(||)sin()cos(||cos)sin(||)cossin()sin(||)sin()sin(||sin2020tXtCtBextXtAextXxtFtXtCtBextXtAextXxtFddtdtddtdt或全解稳态响应激励或全解稳态响应激励(2.13)(2.14)2100222020012tan,)2()1(,1,sskFXssXXCBAd而由初始条件确定，、或、其中上式中各个参数重写如下：2.受迫振动的过渡过程系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称为过渡过程。研究过度过程有实际意义，如机器的通过共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过度过程。在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为tsXtCtBxsin1)cossin(2000代入初始条件000:(0),(0)txxxx，得)sin(sin1cossin02000000tstsXtxtxx上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。(2.16)(2.15)t图2.4在实际系统中，总有阻尼存在，（2.16）式中的第一、二项会很快衰减，当激励频率与固有频率接近时，会出现一种特殊的振动现象，即拍振现象。解释如下：s=1+2e，上述条件下（2.16）式变为ttXttXttXtstsXx000000020cos)(cos)sin2()sin(sin4)sin(sin1eee因此，x可看成是振幅（X(t)）按慢频率（慢节拍）周期变化（振幅不恒定、慢变）、位移按快频率变化（位移快变）的周期振动，时间历程曲线如图2.5。(2.17)图2.5e210kF当激励频率等于系统的固有频率时，即共振时，从（2.15）式看，系统的稳态解为2020211,sin11skFtskFx振幅但再经仔细研究，无穷大的振幅不是瞬间达到的，而是逐渐建立的。实际上，这时特解的假设模式应改为如下形式)sin(022ttXx代入无阻尼受迫振动方程)sin(sin)/(0200000tXtmFxx得2,90sin)cos(2sin)sin()sin()cos(20020200002020002020202002XXtXtXtXttXttXtX所以即由此得无阻尼受迫振动方程的特解为ttXttXx0000002cos2)2sin(2(2.18)可见共振振幅tX200随时间线性增长，如图2.6。tX200图2.6例2.1在图示系统中,已知m,c,k1,k2,f0和。求系统动力学方程和稳态响应。tFsin0m2kc1k2.2E图例2.1图k1k2cmx1x例2.1图k1k2cmx1xk1k2cmx1xk1k2cmmmx1x0sinFt解：由Newton第二定律，得：21111210()0()sinkxxkxcxmxkxxFt)1()2(由(2)式解出x1代入（1）式，得到关于x得系统动力学方程122121200()()sincoscmxkkmxkcxkkxkkFtcFt)3(设方程（3）右边两项对应的稳态复数解分别为和tiez12itze)()(0211HFkkz)(02HFcz得：其中：ieHcmckimkkkkH)(][])([1)(32221212221212arctan{()/[()]}kmckkkkm所以)(2)(1titiezezx返回得实数解为1200()()sin()()cos()xkkFHtcFHtoBRlm例2.2图xym),(yxlROB解：用Lagrange方程建立系统动力学程，取广义坐标，本题为完整非定常系统。)cos(coslRx)sin(sinlRy转子每转一周简谐激振n次，为消减扭振采用一单铰接于圆盘的B点，OB=R，摆长为l，摆锤质量为m。不考虑初值影响时求扭振振幅与单摆振幅的例2.2离心摆激振器的力学模型如图所示。转子以角速度转动，由于激振扭距的作用，转子产生扭转振动sinmt比，并讨论用单摆减震。（提示：转子转速较高时，重力与质量力相比很小，对于摆的影响可以忽略不计。）2222222)(cos)(2lRlRyxv2201122TImv由Lagrange方程有0TTdtd即0sin)()]([2RllRldtd线性化得)1(2lRlR（1）由题设有ttmmsin,cos2并认为m)sin()(sinlRx)cos()(coslRy22222222sin(1)()()()(1)mmmmmtRlRlRRnllnRRlnl，其中＝稳态解为：而2200mRnlRnln讨论：当时，＝，即完全消除了振动。因此若恒定，则可选取设计吸振器。方程（1）变为tlRlRmsin)1(22（2）所以例2.3汽车拖车可简化为图所示的力学模型，其中m,c,k和l已知。拖车的质量为m，以匀速v在不平的路面上行驶，路面形状设由给出，x=vt，拖车对与汽车的连接点O的转动惯量为J，轮质量不计，yo远小于l因而认为O点无垂直位移。求拖车振幅达到最大值时拖车的速度。02(1cos)xyyblmvOkc例2.3图O0F)(ylk)(ylcmmg为弹簧静平衡力mgF0解：以O点为动矩心，应用相对运动动量矩定理得：()()JklylclylJclklklyclyy即＋代入得22000222cossinclyvvvJclklklyklyttbbb)2cos()2sin(0tbvBtbvAlyx稳态解为0222222222(),(),1(),arctan()()vAHBHklybclHklJklJcl其中＝222220max242232242232222222()0,22024822(11)zzABHlyckdzzdcJkJkjkJkJcJklcJkclckJ因次振幅为得必要条件为得181421812)181(282,42,120202022222202220220bvbvkJlcckJclJkl＝）式，令由（∴∴∵∴§2.2几个简化的实际例子1.惯性测振仪惯性测振仪如图2.7所示。被测物体的振动（基础振动）使测振仪中的弹簧—质量振子振动，用记录仪将振子的相对运动记录下来，就可给出被测物体的振动。x的振动方程为)(220022,,)(tititiftiffXexeBxxxeBxBexxckxxxm稳态响应为方程化成标准形式为则设(2.20)xf(t)图2.7(2.19)其中210222212tan,)2()1(sssssBsX图2.8所示为放大率X/B、相角与频率比的曲线。作为动态测量仪器，一般要求放大率和相角（相位差）近似为常值。由图可见，0.7的几条曲线在高频率比区域基本上能满足这一要求，实际上，此时式（2.21）在高频率比区域近似为(2.21)1802tan2tan,111215.2