第04章-多自由度系统的振动

第四章多自由度系统的振动§4.1多自由度系统的动力学方程§4.2无阻尼系统的自由振动与模态§4.3振动分析的模态叠加法§4.4无阻尼系统的响应§4.5阻尼系统及其求解§4.6模态问题的一些特殊情况第四章多自由度系统的振动大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类，系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将n自由度系统分解成n个单自由度系统，每个单自由度系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态），将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使用。§4.1多自由度系统的动力学方程我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结构。对n个自由度的完整系统，设系统的广义坐标为qi,i=1,2,…,n；系统的势能为V(q1,q2,…,qn)，用Taylor级数展开nijinjqqjiniiqqiqqnndqdqqqVdqqVqqqVqqqViiiiii11212121)(21)(),,,(),,,(000将广义坐标原点和零势位均取在系统的静平衡位置，得nijinjqjinqqqqVqqqVi110221)(21),,,((4.1)njiqqVkqqkqqqVninjqjiijnijinjijni,,2,1,,21),,,(11021121其中量，得将上式只保留到二阶小因为偏导数的结果与求导次序无关，因此kij=kji。对于线性系统，(4.2)式是精确的；对于非线性系统，上式近似成立，可用来研究系统在平衡位置附近的微振动、或用来逐步逼近非线性系统。(4.2)(4.3)nijinjjkikNkkniiikNkkkNkkqqqrqrmqqrmrmT1111212121][2121nnijnnijTnTTmMkKqqqqqMqTKqqV][,][,],,,[21,2121其中jijkikNkkijnijinjijnijinjjkikNkkmqrqrmmqqmqqqrqrm1111112121其中(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式(4.4)(4.5)(4.6)矩阵K称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩阵M称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。根据Lagrange方程，系统的振动微分方程为0MqKqQQMqKq其中为非保守力形成的广义力列阵对自由振动系统，振动方程为(4.7)(4.8)下面解释一下刚度矩阵的物理意义。由（4.7）式，系统的静力平衡方程为iijjmjjnjjjQkQkjmqqjKkQqkQKq,)(0,1,1时当列的第为矩阵可写成(4.10)上式的物理意义是：刚度矩阵的第j列是使qj产生单位变形所需的广义力列阵。可以应用这一物理含义直接列写系统的刚度矩阵，称为刚度影响系数法。(4.9)刚度矩阵的逆矩阵F称为柔度矩阵qfjmQQQfFQQKqjmjnjjj时当,0,111柔度矩阵的第j列是Qj为单位力而使系统产生的广义坐标变形列阵。也可以应用这一物理含义直接列写系统的柔度矩阵，称为柔度影响系数法。同样，我们也可以用影响系数法来列写质量矩阵，方法是：令第j个广义坐标的加速度为(4.11)其余广义坐标的加速度为0，为此而需要在各个广义坐标方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第j列。1jq直梁的对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩阵是比较方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为xPabllxaxxblaxblEIlPbfaxbxlEIlPbxf],)()([60),(63223222例4.1写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质量矩阵，设梁单位长度的质量为rl。4l4l4l4l1m2m3m2y1y3y例4.1图ijibjbl图(a)解：根据材料力学，参见图a，在梁上j点作用单位横向载荷，将在i点产生挠度fij：222(),6ijijijijjibblbbfffEIl现在，分别在三个挠度坐标（本题的广义坐标）y1、y2、y3方向作用单位力，每次得到一个挠度向量，将它们写成矩阵就是柔度矩阵。比如在y1方向作用单位力，按照前面的挠度公式，可得三个坐标方向的挠度为：222311(/4)(3/4)[(/4)(3/4)]96768llllllfEIlEI222321(/4)(/2)[(/4)(/2)]116768llllllfEIlEI222331(/4)(/4)[(/4)(/4)]76768llllllfEIlEI因此，柔度矩阵的第一列为3112131{,,}{9,11,7}768TTlfffEI类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为11121332122233132339117[]1116117687119ffflFfffEIfff系统的动能为1122211223312322330011(){,,}002200myTmymymyyyymymy。所以，系统的质量矩阵为12300100[]00010400001lmlMmmr其中1224llmmmr例4.2建立图示三级摆的线性自由振动方程。设1m1232m3m1l2l3l例4.2图解：我们用Lagrange方程来建立振动方程。各质点的速度为123123,mmmmllll11111(cossin)vlij211221122[(coscos)(sinsin)]vlij3112233112233[(coscoscos)(sinsinsin)]vlij所以系统的动能为322211122221231212232331311[(cos)(sin)]21[324cos()22cos()2cos()]kkiiiikiiTmlml系统的势能为123(3cos2coscos)Vmgl微振动时，i为微量，将以上能量保留到二阶微量，得（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留到二阶微量）222212312233112123231[32422]23211{,,}2212111Tmlml22212211232316(32)230016{,,}0202001Vmglmglmglmgl代人Lagrange方程0,1,2,3iiidTTVidt1122233321300022102001110010mlmgl得系统的振动方程为例4.3如图所示结构，刚性矩形板由三根长度均为的无重弹性支柱支撑，支柱与板和地面刚结，每根支柱抵抗端点位移产生的弯曲刚度为12EI/L3，支柱的扭转刚度不计。如图所示，取板的广义坐标为A、B和E三点在水平面内的位移，即广义坐标列向量为q={v1,v2,v3}T。用刚度影响系数法求刚度矩阵。LLLLABCDEv3v1v2LLLLABCDEv3v1v2LLLLABCDELLLLABCDEv3v1v2例4.3图2Dv2Av11vABCDE瞬心位移图受力图AkvABCDEDkv1Q2Q3Q1231,0vvv时板的位移和受力图图(a)解：（1）求刚度矩阵第一列参见图a，可得板的力平衡方程：31120()202()02DAADADQkvkvQLkvkvLQQkvkv；其中312EIkL解得1234,2,0QkQkQ因此，刚度矩阵第一列为123{,,}{4,2,0}TTQQQk2131,0vvv时板的位移和受力图图(b)位移图1Dv2Bv21v1AvABCDE瞬心1Ev受力图AkvEkv1Q2Q3QCBADEDkv（2）求刚度矩阵第二列参见图b，可得板的力平衡方程：31120()00ADADEQkvkvQLkvkvLQQkv；其中312EIkL因此，刚度矩阵第二列为123{,,}{2,3,0}TTQQQk解得1232,3,0QkQkQ3121,0vvv时板的位移和受力图图(c)受力图Akv1Q2Q3QCBADEDkv3kv位移图1Dv1AvABCD31vE板平动（3）求刚度矩阵第三列参见图c，可得板的力平衡方程：331120()00ADDAQkvkvkvQLkvkvLQQ；其中312EIkL因此，刚度矩阵第三列为123{,,}{0,0,3}TTQQQk解得1230,0,3QQQk综合以上结果，得系统的刚度矩阵为342012[]230,003EIKkkL§4.2无阻尼系统的自由振动与模态1.自由振动与模态的产生设系统自由振动方程为0MxKx(4.12)其中x为n维列向量。设方程的解为nRtx),sin((4.13)代入（4.12），得0||0)(22MKMK(4.14)方程（4.14）为方程（4.12）的特征（本征）方程，因此线性系统自由振动的求解转化为相应特征值问题的求解。方程（4.14）可以求出n个特征值22221,,,n因为M、K矩阵为对称实正定和半正定矩阵，根据线性代数理论，将保证以上所有特征值大于或等于零。因此2222211,,,nn对于自由振动解（4.13）是有意义的，它们代表了自由振动的固有频率。由此有结论，n自由度系统有n个固有频率。进一步，对应于每个特征值（每个固有频率），由方程（4.14）可求出一个特征向量，有)()2()1(,,,n只要所有特征值都是单根，所有特征向量将是线性独立的。这样，我们得到了n个特征对niiii,,2,1;,)(每一个特征对叫做一个模态（mode），i称为模态频率（或固有频率），i称为模态振型（modalshape）。因为以上模态都是实数，因此为实模态。对于自由振动，n个模态就是n个线性无关的自由振动解，但现在就指出，模态还有更大的意义。由此得线性系统自由振动通解为()100sin(),0(0),(0)iniiiiiiiiiixatatxxxx常数、由初始条件确定：时：(4.15)2.模态的代数性质每个模态应满足特征值值方程（4.14）：0)(,0)(0)(,0)()(2)()(2)()()()(2)(2jjTiiiTjTiTjjjiiMKMKMKMK，得、两个方程分别左乘两式相减并考虑到K、M的对称性，得(4.16)2)()()()()()()()()()(22)16.4(;0;0,0)(iiTiiTiiTjiTjjiiTjjiMKjijiKjiMM得时，由当进而得当(4.17)(4.18)(4.17)、(4.18)表示模态的一个最重要的性质，称为振型