数学物理方法试卷5答案

第1页共9页物理系20—20学年第学期期末考试《数学物理方法》试卷（A）考试时间：120分钟考试方式：闭卷班级专业姓名学号题号一二三四五总分得分核分人一、填空题（本大题共9题，每空2分，共24分）1、写出复数1+3i的三角式)3sin3(cos2i，指数式ei32。2、zazb中z代表复平面上位于ab线段中垂线上点。3、幂级数1kkkz的收敛半径为。4、复变函数),(),()(yxiyxzf可导的充分必要条件yvxvyuxu,,,存在，并且满足柯西-黎曼方程。5、ez在Z=0的邻域上的泰勒级数是（至少写出前三项）ez=......!3!2!1132zzz。6、若周期函数f(x)是奇函数，则可展为傅立叶正弦级数f(x)=lxkbkksin1第2页共9页展开系数为dlkflblk0sin)(2。7、就奇点的类型而言，Z=∞是函数f(z)=ZZcos的可去奇点，Z=0是函数的单极点。8、三维波动方程形式2()0ttxxyyzza。9、拉普拉斯方程0u在球坐标系中的表达式为：2222222111sin0.sinsinuuurrrrrr。二、简答题（本大题共3题，每题8分，共24分）1、分别简述单通区域和复通区域下的柯西定理。单通区域柯西定理：如果函数)(zf在闭单通区域B上解析，则沿B上任一段光滑闭合曲线,有0)(dzzf；(4分)复通区域柯西定理：如果函数)(zf是闭复通区域上的单值解析函数,则niidzzfdzzf10)()(,式中为区域外界境线,诸i为区域内界境线,积分均沿界境线正方向进行。(4分)2、长为l的均匀弦，两端0x和lx固定，弦中张力为T0，在hx点，以横向力F0拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。解：由点斜式方程，弦的初始位移为0,(0),(),().tcxxhhuclxhxllh（2分）其中c为弦在x＝h点的初始位移。因为是小振动，所以第3页共9页112212sin,sin,coscos1,.cctgtgdSdxhlh（2分）写出水平、竖直方向的力平衡方程式：011222211210000sinsin0,coscos0,,,FTTTTTTTccFTThlh（2分）解得00()FhlhcTl，将之代入初始位移（1），得)lxh(),xl(lThF)hx0(,xlT)hl(Fu00000t（2分）3、写出l阶勒让德多项式的具体表达式，具体写出前3个勒让德多项式。答：l阶勒让德多项式的具体表达式为：[/2]20(22)!()(1).2!()!(2)!lklkllklkPxxklklk（4分）记号[l/2]表示不超过l/2的最大整数。（这由x的指数得知，k＝0的项即为系数为a0或a1的项。）经由上式计算，前3个勒让德多项式是0122()1()cos11()(31)(3cos21)24PxPxxPxx（4分）三、计算题（本大题共2题，每题10分，共20分）1、计算回路积分l22)1z)(1z(dz（l的方程是0y2x2yx22）。解：的方程可化简为：222)2()1()1(yx，在复平面上它是以（-1，-i）为圆心，2为半径的圆，(1分)第4页共9页被积函数22)1)(1(1)(zzzf有两个单极点iz0，和一个二阶极点10z，在这三个极点中，1,0iz在积分回路内，它们的留数：41)1)((1)1)()((1)()()()(Re220limlimlimzizzizizizzfzzisfiziziz(3分)21)1(2(])1(1[])1)(1(1)1[()]()[()1(Re22121222101limlimlimlimzzzdzdzzzdzdzfzzdzdsfzzzz(3分)应用留数定理：2)2141(2)]1(Re)([Re2)1)(1(1)1)(1(2222iisfisfizzzzdz(3分)2、计算实变函数积分I=π20cos2xdx。解:这是属于类型一的积分，为此，做变换izez使原积分化为单位圆内的回路积分142222111zzdzizzizdzIzz第5页共9页)32)(32(21zzdzizdzzfiz)(21f(z)有两个单极点320z在单位圆内，且321]321[lim)23(Re23zsfz所以32)23(Re22sfiiI四、求解定解问题（本大题共1题，共16分）20000,0,0;(),().(0)ttxxxxxxltttuauuuuxuxxl解：利用分离变数法：)()(),(tTxXtxu，代入范定方程（1），分离变量，得到：2''()''().()()XxTtXxaTt两边分别是时间t和坐标x的函数，除非两边等于一个常数，记作，可得到t和x所满足的常微分方程，如下：0)()(0)()(2tTatTxXxX（3分）同时把)()(),(tTxXtxu代入边界条件得：0)(,0)0(0)()(lXXxXxX因为是第二类边界条件，第6页共9页当=0时，方程的解是xDCxX00)(，代入边界条件得：D0=0，所以0)(CxX；（1分）当＞0时，T满足的常微分方程的通解是：12()cossin,XxCxCx（2分）代入边界条件，确定系数2120,(sincos)0.CClCl由于2110,0sin0,0CClC所以＝，如果，则得无意义的0解，所以只有：0sinl，则nl2于是，求出本征值：222lnn（n=1,2,3……）现在把和0＞0情况的本征值和本征函数合在一起，相应的本征函数是：11()cos,(0,1,2,)nnXxCxnCl为任意常数（3分）对于每一个本征值222lnn，代入方程02TaT中可得到：0T和0)(22TlanT相应方程的解为：)0)(000ntBAtT，（,.....)2,1(,sincos)(natlnBatlnAtTnnn（2分）其中，An,Bn为任意常数。第7页共9页则),(txu满足的方程的本征解为：),0(,),(000ntBAtxu,.....)2,1(,cos)sincos(),(nxlnatlnBatlnAtxunnn方程一般解是所有本征解的线性叠加，即：001(,)(cossin)cos.nnnnnnuxtABtAatBatxlll（3分）代入初始条件0101cos(),(0)cos().nnnnnAAxxlxlnanBBxxll上式的左端是傅立叶余弦级数，把右边的)(x和)(x展开为傅立叶余弦级数，然后比较两边的系数就可以确定系数，00000012(),()cos,12(),()cos.llnllnnAdAdlllnBdBdlnal（2分）五、应用题（本大题共1题，共16分）如图所示，推导一维和三维扩散方程，已知扩散系数为D。解：在扩散问题中研究的是浓度u在空间中的分布和在时间中的变化(,,,)uxyzt，选取长、宽、高分别是dx，dy，dz的六面体小微元作为研究对象，已知扩散现象遵循扩散定律：qDu（3分）装订线内请勿答题…………………………………………………………..装………………….订…………………..线…………………………………………………………………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………第8页共9页该定律的分量形式：xuqDx，yuqDy，zuqDz如图所示的六面体里浓度的变化取决于穿过它的表面的扩散流。由扩散定律，先考虑单位时间内x方向上扩散流为：因在左表面处，流入六面体的流量为xxqdydz，在右表面流出去的流量为xxdxqdydz，dx取得很小，则单位时间内x方向净流入流量为()()xxxxxxdxxdxxxqdydzqdydzqqdydzqudxdydzDdxdydzxxx（3分）分别考虑y,z方向上的扩散流，同理可得单位时间内y方向净流入流量为()()yyyyyydyydyyyqdxdzqdxdzqqdxdzqudxdydzDdxdydzyyy单位时间内z方向净流入流量为()()zzzzzzdzzdzzzqdxdyqdxdyqqdxdyqudxdydzDdxdydzzzz（2分）又因为六面体中单位时间内增加放入粒子数等于单位时间内净流入的粒子数，即()()()[()()()]uuuudxdydzDdxdydzDdxdydzDdxdydztxxyyzzuuuDDDdxdydzxxyyzz（2分）则有：三维扩散方程为：第9页共9页()()()[()()()]0tuuuuDDDtxxyyzzuuuuDDDxxyyzz若D为常数，则方程为：()0txxyyzzuDuuu（3分）相应一位扩散方程为：()0tuuDxx（3分）