幂函数知识点总结及练习题

幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方．幂函数练习题一、选择题：1．下列函数中既是偶函数又是(,)0上是增函数的是（）A．yx43B．yx32C．yx2D．yx142．函数2xy在区间]2,21[上的最大值是（）A．41B．1C．4D．43．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．3xyB．3xyC．32xyD．13xy4．函数34xy的图象是（）A．B．C．D．5．下列命题中正确的是（）A．当0时函数xy的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C．若幂函数xy是奇函数，则xy是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限6．函数3xy和31xy图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线xy对称7．函数Rxxxy|,|，满足（）A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数8．如图1—9所示，幂函数xy在第一象限的图象，比较1,,,,,04321的大小（）A．102431B．104321C．134210D．1423101342二、填空题：.1．函数yx32的定义域是.2．14()3,27)()fxfx幂函数的图象过点（，则的解析式是.3．942aaxy是偶函数，且在),0(是减函数，则整数a的值是.4．函数2422xxy的单调递减区间是.三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤1．比较下列各组中两个值大小（1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与2．求证：幂函数3xy在R上为奇函数且为增函数.3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123xyxyxyxyxyxy）；（）；（）（；）；（）；（）（（A）（B）（C）（D）（E）（F）巩固训练一、选择题1．已知集合2,2,1NM，则NM等于（）A．2,1B．1C．2D．22．下列函数中，值域是,0的函数是（）A．3xyB．4xyC．2xyD．31xy3．函数11xy的定义域是（）A．,1B．,1C．1,D．,11,4．二次函数12xy的单调递减区间是（）A．0,B．,1C．1,D．,05．函数3)(xxf的图象（）A．关于直线xy对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于y轴对称6．幂函数)(Qnxyn的图象一定经过点（）A．0,0B．1,1C．1,1D．1,07．已知512,xxARI，则A=（）A．3xxB．2xxC．32xD．32xx8．若一元二次不等式0122pxx的解集是qxx2，则p的值是（）A．不能确定B．4C．－4D．８10．函数)1(1xxy的反函数是（）A．)(12RxxyB．)0(12xxyC．)0(12xxyD．)0(12xxy11．已知)(xf是定义在R上的偶函数，且在,0上单调递减，则（）A．)10()()3(fffB．)3()()10(fffC．)10()3()(fffD．)()3()10(fff12．已知点1,2bba与ba2,2关于直线xy对称，则这两点之间的距离是（）A．不能确定B．314C．213D．21713．若不等式012kxkx的解集是R，则k的取值范围是（）A．04kB．04kC．4k或0kD．4k或0k14．已知)(xf是奇函数，当0x时，其解析式1)(3xxxf，则当0x时，)(xf的解析式是（）A．13xxB．13xxC．13xxD．13xx二、填空题15．设函数)(xf的定义域是10xx，则)12(xf的定义域是___________18．已知幂函数)(xf的图象经过2,2，则)9(f=___________19．已知函数mxxfa)(的图象经过点3,1，又其反函数图象经过点2,10，则)(xf的解析式为___________20．已知奇函数)(xf在区间5,2上是减函数，且最小值为5，则)(xf在区间2,5上的最大值是___________21．满足条件3,2,12,1M的集合M的个数是___________个.22．函数xy11的反函数的值域是___________三、解答题23．已知2,0822mmxxBxxxA，若BA，求m的取值范围。24．已知函数xxxf1)(。⑴求函数)(xf的定义域；⑵利用定义证明函数)(xf在定义域上是减函数。26．已知偶函数)(xf在,0上是增函数，求不等式)2()52(2xfxf的解集。幂函数练习题一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()A．13yxB．12yxC．53yxD.23yx2．以下关于函数ayx当a＝0时的图象的说法正确的是()A．一条直线B．一条射线C．除点(0,1)以外的一条直线D．以上皆错3．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为()A．16B.116C.12D．24．下列结论中，正确的是()①幂函数的图象不可能在第四象限②a＝0时，幂函数y＝ax的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y＝ax，当a≥0时是增函数④幂函数y＝，ax当a0时，在第一象限内，随x的增大而减小A．①②B．③④C．②③D．①④5．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．幂函数f(x)＝ax满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件()A．α＞1B．0＜α＜1C．α＞0D．α＞0且α≠17．幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－32m－13的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为()A．2或－3B．2C．－3D．08．函数y＝xn在第一象限内的图象如下图所示，已知：n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－129．若a0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是()A．5－a5a0.5aB．5a0.5a5－aC．0.5a5－a5aD．5a5－a0.5a10．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图象可能是()二．填空题1．函数f(x)＝(1－x)0＋12(1)x的定义域为________．2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，那么这个幂函数的解析式为________．3．若1133(1)(22)aa，则实数a的取值范围是________．三、解答题1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·21mmx，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．2.函数f(x)＝(m2－m－5)1mx是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．幂函数练习题答案一．选择题DCCDBABBBC二．填空题1.(－∞，1)2.12yx3.(3，＋∞)三．解答题1.[解析](1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1＋132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.2.解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2，当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.