西南大学《--数学物理方法--》课程试题-【A】卷参考答案和评分标准

西南大学课程考核命题教师：张文品教研室或系负责人：主管院长：2016年12月18日第1页共12页—————————————密————————————封——————————————线——————————————学号姓名班年级专业学院西南大学物理科学与技术学院《数学物理方法》课程试题【A】卷参考答案和评分标准2016～2020学年第1学期期末考试考试时间120分钟考核方式闭卷笔试学生类别本科人数211适用专业或科类物理学（师范）年级2015级题号一二三四五六七八九十合计得分签名阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。一、填空题：（共10小题，每小题2分，共20分）1、方程Ln3zi的解为_______),3i(121z或3ie__________________。2、幂极数1!nnnnzn的收敛半径为_______e_________________。3、设100(1)zi，则Imz＝_______0_______________。4、设C为正向圆周|z|=1，则1()czdzz=________4πi___________________。5、设C为正向圆周 2，sin3()-cfzdz，其中2z，则'(1)f=i,33或3cos3i26、函数5111[1]1(1)fzzzz在点z=0处的留数为____6______________。特别提醒：学生必须遵守课程考核纪律，违规者将受到严肃处理。《数学物理方法》课程试题【A】卷参考答案和评分标准第2页共10页7、函数)1|(|0)1|(|)(ttttf的傅里叶变换为)/()/sincos(28、在1z的区域上，复变函数2()1/()fzzz的幂级数展开为2(1)/kkkzz9、微分方程2(1)2(1)0xyxynny在[1,1]x的有限解为()yx()nPx，被称为n阶勒让德多项式．10、定解问题20,(,0)(,0)0,(,0)1ttxxtuauxtuxux的解为u(s,t)=t。二、选择题（共5题，每题3分，共15分）1、下面说法正确的是(D)A）若函数)(zf在z点解析，则函数)(zf在z点可导，反之亦然。B）26xyxyyxxuyuxuuuu是二阶齐线性偏微分方程。C）若洛朗级数中含0zz的负幂项，则展开中心0z一定是被展开函数的奇点。D）函数()1/sin(1/)fzz在0z处是非孤立奇点。2、若(,)(,)fzuxyivxy在Z平面上解析，(,)(cossin)xvxyeyyxy，则(,)uxy=（D）A.(cossin)yeyyxy)B.(cossin)xexyxyC.(cossin)xeyyyyD.(cossin)xexyyy3、1z是函数41)(zzcot的（C）A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点4、本征值问题()()0(0)0,()0XxxXX的本征值和本征函数为（C）西南大学课程考核(试题【A】卷参考答案和评分标准)第3页共10页—————————————密————————————封——————————————线——————————————学号姓名班年级专业学院A.22,()sin(1,2,3,)nnnnXxanxnB.22,()cos(0,1,2,3,)nnnnXxannC.2(21)(21),()sin(0,1,2,3,)42nnnnnxXxanD.2(21)(21),()cos(0,1,2,3,)42nnnnnxXxan5、设)(cos)(2izzzzf的罗朗级数展开式为nnnizc)(，则其收敛圆环域为(C)A.iz1；B.10z或z1；C.10iz或iz1；D.10iz.三、证明题：（共1题，共10分）设333322()z0()z=00xyixyfzxy，证明zf在原点满足C－R条件，但不可微。证明：令,,fzuxyivxy，则332222220,=00xyxyuxyxyxy，332222220(,)=00xyxyvxyxyxy。3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxuxuxuxx，（1分）3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxuyuyuyy；（1分）《数学物理方法》课程试题【A】卷参考答案和评分标准第4页共10页3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxvxvxvxx，（1分）3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxvyvyvyy。（1分）(0,0)(0,0),(0,0)(0,0)xyyxuvuv（1分）()fz在原点上满足C－R条件。（1分）但33332200()(0)()limlim()()zzfzfxyixyzxyxiy。（1分）令y沿ykx趋于0，则3333334343222220()1(1)1(1)lim()()(1)(1)(1)zxyixykikkkkikkkxyxiykikk（2分）依赖于k，()fz在原点不可导。（1分）四、计算题：（共2小题，共15分）1、（7分）计算积分22(-)(3)zceIdzzizi的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。解：因在C内22z3i)(zi)-(zef(z)有二阶级点z=I，（2分）所以22322()lim(-)()2lim-(-12)1!(3)(3)16zzcziziideefzdzzifziidzzizi(5分)2、（8分）用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题32200322336,(0)3,|1,|2.tttdydydydydyyeydtdtdtdtdt解：将方程拉普拉斯变换：西南大学课程考核(试题【A】卷参考答案和评分标准)第5页共10页—————————————密————————————封——————————————线——————————————学号姓名班年级专业学院3226(32)3(32)3(2).1pypppyppyyp（3分）即32266(1)310143(1)4(1)7,11pypppppp亦即24236634731014,1(1)1(1)(1)yppppppp（2分）反演，得32327734(43).22tttttyteetetettte（3分）五、（10分）用分离变量法求解如下定解问题222220000,0,00,0,t0,0,0x.xxltttuuaxlttxuuxxuxul解：第一步：分离变量(2分)设)()(),(tTxXtxu，代入方程可得)()()()()()()()(2''''''2''xTaxTxXxXtTxXatTxX此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与tx,无关的常数。设为，则有.0)()(,0)()()()()()(''2''2''''xXxXtTatTxTaxTxXxX将),(txu代入边界条件得,0)()()()0(''tTlXtTX《数学物理方法》课程试题【A】卷参考答案和评分标准第6页共10页从而可得特征值问题,0)()0(0)()(''''lXXxXxX第二步：求解特征值问题(3分)1)若0，方程的通解形式为xxBeAexX)(由定解条件知0,0BA，从而0)(xX，不符合要求。2)若0，方程的通解形式为BAxxX)(由边界条件知,0A，从而BxX)(。3)若0，方程的通解形式为xBxAxXsincos)(代入边界条件得,...3,2,1,)(,00sin,02nlnBlAB从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数,...3,2,1,cos)(,...3,2,1,0,)(2nxlnAxXnlnnnn第三步：求特解，并叠加出一般解(2分)求解了特征值问题后，将每特征值n代入函数)(tT满足的方程可得出相应的解,...3,2,1,sincos)()('''0'00natlnDatlnCtTtDCtTnnn因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解西南大学课程考核(试题【A】卷参考答案和评分标准)第7页共10页—————————————密————————————封——————————————线——————————————学号姓名班年级专业学院,cos)sincos(),(100nnnxlnatlnDatlnCtDCtxu第四步：确定叠加系数(3分)由初始条件可知0coscos1010nnnnxlnlanDDxxlnCC可得,2,1,0,03,2,1],1)1[(22220nDnnlClCnnn故原方程的解为.)12(cos)12(cos)12(42coscos]1)1[(22),(022122nnnxlnlatnnllxlnlatnnlltxu六、（10分）求解以下定解问题：20000,0,0000txxxxxltuautxluuutuxl解：先将非齐次边界条件化为齐次边界条件，令,,xtvxtwxu，使wx满足000000wxwxCxDwuDuwlC，《数学物理方法》课程试题【A】卷参考答案和评分标准第8页共10页解之，得：0wxu。（2分）,xtv满足20000000,000000txxxxxxxxlxlxlttvavtxlvuwtvuwtvuwxuxl。（1分）令,vxtXxTt，可求得12sin0,1,2,nXxBxnl，（1分）2222120naTtTtl，2222120,1,2,natlnTtAen。定解问题的通解为：222212012,sinnatlnnnvxtAexl。（2分）由初始条件00tvu得：001)2(sinnnAnxul，0001220,1,2,214sinlnnAunlnuxdxl。（2分）于是2222210402141,sin212natlnnuvxtexnl，,,uxtwxvxt22222104002141sin212natlnnuuexnl。（2分）西南大学课程考核(试题【A】卷参考答案和评分标准)第9页共10页—————————————密—