数学物理方法试卷答案

1《数学物理方法》试卷答案一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（B）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（D）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.3．牛曼内问题fnuu,02有解的必要条件是（C）A．0f.B．0u.C．0dSf.D．0dSu.4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题0)()0(0,0)()(''lXXlxxXxX的解是（B）A．)cos,(2xlnln.B．)sin,(2xlnln.C．)2)12(cos,2)12((2xlnln.D．)2)12(sin,2)12((2xlnln.5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（D）A．0254yxyyxyxxuuuuu.B．044yyxyxxuuu.C．02222yxyyxyxxuyxyuuyxyuux.D．023yyxyxxuuu.2二、填空题（每题4分，共20分）1．求定解问题x0,cos2,00t,sin2,sin20,0,00002222xuutututxxututttxx的解是(xtcossin2).2．对于如下的二阶线性偏微分方程0),(),(2),(fueuduuyxcuyxbuyxayxyyxyxx其特征方程为(0))(,(),(2))(,(22dxyxcdxdyyxbdyyxa).3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''xyxxyxxy的任一特解y（)21(23xJ或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（r1ln），三维拉普拉斯方程的基本解为（r1）.5．已知xxxJxxxJcos2)(,sin2)(2121，利用Bessel函数递推公式求)(23xJ（)sin)(1(2)cossin1(223xxdxdxxxxxx）.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题222220000,0,00,0,t0,0,0x.xxltttuuaxlttxuuxxuxul解：第一步：分离变量(4分)设)()(),(tTxXtxu，代入方程可得3)()()()()()()()(2''''''2''xTaxTxXxXtTxXatTxX此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与tx,无关的常数。设为，则有.0)()(,0)()()()()()(''2''2''''xXxXtTatTxTaxTxXxX将),(txu代入边界条件得,0)()()()0(''tTlXtTX从而可得特征值问题,0)()0(0)()(''''lXXxXxX第二步：求解特征值问题(4分)1)若0，方程的通解形式为xxBeAexX)(由定解条件知0,0BA，从而0)(xX，不符合要求。2)若0，方程的通解形式为BAxxX)(由边界条件知,0A，从而BxX)(。3)若0，方程的通解形式为xBxAxXsincos)(代入边界条件得,...3,2,1,)(,00sin,02nlnBlAB从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数,...3,2,1,cos)(,...3,2,1,0,)(2nxlnAxXnlnnnn4第三步：求特解，并叠加出一般解(3分)求解了特征值问题后，将每特征值n代入函数)(tT满足的方程可得出相应的解,...3,2,1,sincos)()('''0'00natlnDatlnCtTtDCtTnnn因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解,cos)sincos(),(100nnnxlnatlnDatlnCtDCtxu第四步：确定叠加系数(4分)由初始条件可知0coscos1010nnnnxlnlanDDxxlnCC可得,2,1,0,03,2,1],1)1[(22220nDnnlClCnnn故原方程的解为.)12(cos)12(cos)12(42coscos]1)1[(22),(022122nnnxlnlatnnllxlnlatnnlltxu5四、（10分）用行波法求解下列问题.,0,3,,0,03202022222xyuxuxyyuyxuxuyy解：其特征方程为0)(32)(22dxdxdydy(2分)由此可得特征线方程为dyxcyx3(2分)因此作变换yxyx,3(2分)从而可得u2＝0从而有)()3(),(yxGyxFyxu由初始条件可得0)()3(3)()3(''2xGxFxxGxF所以有CxGxF)(3)3(，从而可得CxxGCxxF43)(49)3(22(2分)故而可知223)()3(),(yxyxGyxFyxu。(2分)6五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：.20,sin,0,0,0,20,02022xxutuutxxututxx解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记)},({),(txuLsxU，对方程做拉氏变换可得,0,sin2022xxUUxsUdxUd(4分)用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解20sinsxU(2分)又上常微分方程相应的齐次问题的通解为xsxsBeAeU1所以，上常微分方程的通解为2sinsxBeAeUxsxs，(2分)再由定解条件可得A＝B＝0，从而2sinsxU故而，原定解问题的解.sin}sin{}{),(2211xesxLULtxut。(2分)7六、（15分）用格林函数法求解下定解问题222200,y0,(),.yuuxyufxx解：设),(000yxM为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为dSnurrnMuMuMMMM)1ln)1(ln)((21)(000(2分)设v为调和函数，则由第二格林公式知0)()(22dSnuvnvuduvvu（2）（1）＋（2）可得dSnuvrdSrnnvMuMuMMMM])1ln21(])1(ln21)(([)(000(2分)若能求得v满足00201ln210,0yMMyrvyv（3）则定义格林函数vrMMGMM01ln21),(0，则有dSnGMuMu)()(0(2分)由电象法可知，),(001yxM为),(000yxM的象点，故可取11ln21MMrv(2分)显然其满足（3）。从而可得格林函数))()()()()()((21)1ln1(ln211ln211ln21),(202002020001010yyxxyyyyxxyyrryyGnGrrMMGMMMMMMMM8(5分)故而dfyxydSnGMuMu)()(1)()(202000(2分)七、（10分）将函数fxx在区间[0，1]上展成Bessel函数系(1)11{()}mmJx的级数，其中(1)m为Bessel函数1()Jx的正零点，1,2,m.解：设fxx有如下级数形式1)1(1)()(iiixJAxf(1分)下面利用Bessel函数的正交性确定系数iA易知，对上等式两边同时乘以)()1(1xxJi并关于x在[0,1]内积分可得10)1(12)1(22)()(2dxxJxJAiii(2分)再由递推公式)()]([1222xJxxJxdxd,可得dxxJxxJxdiii)(])([)1(12)1()1(22(2分)故而)(2)(2)()(2)()(2)1(0)1()1(2)1(10)1()1(22)1(2210)1(12)1(22iiiiiiiiiiJJxJxJdxxJxJA(3分)这里用到递推公式)(2)()(11xJxnxJxJnnn。所以，1)1(1)1(0)1(1)1(1)1(2)1()()(2)()(2)(iiiiiiiixJJxJJxf(2分)9T12、（12分）将函数2fxx在区间(0,1)上展开成Bessel函数系01{()}iiJx的级数，其中i是Bessel函数0()0Jx的正零点，1,2,3,i。解：设201()()iiifxxAJx其中1130020021112()()()1()()2iiiiiAxfxJxdxxJxdxJJ(3分)作变量代换，令ixt，则133004001()()iiixJxdxtJtdt由递推公式1[()]()nnnndxJxxJxdx,可得32320111444000021212420111()[()][()2()]1212()[()]()()iiiiittiiiiiiiiiidtJtdtttJtdttJttJtdtdtdJtJtdtJJdt(4分)再由递推公式1121012()()()22()()()()nnniiiiiinJxJxJxxJJJJ。所以，2124(1)()iiiiAJ(3分)从而2021124()(1)()(01)()iiiiifxxJxxJ(2分)