直线方程五种形式教师

直线方程的五种形式11．直线的点斜式方程1．点斜式方程设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为y－y0=k(x－x0)，由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l的倾斜角α=90°时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上每个点的横坐标都等于x0，所以此时的方程为x=x0.（2）当直线l的倾斜角α=0°时，k=0，此时直线l的方程为y=y0，即y－y0=0.（3）当直线l的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b)且斜率为k，则直线的点斜式方程为y=kx+b其中k为斜率，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x=2在y轴上就没有截距，即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数，当k=0时，该函数为常量函数.x=b；当k≠0时，该函数为一次函数，且当k0时，函数单调递增，当k0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.直线点斜式方程的理解1．由于点斜式方程是由斜率公式00yykxx推出的，因此00yykxx表示的直线上缺少一个点P(x0，y0)，y－y0=k(x－x0)才是整条直线；2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：①斜率存在时，直线方程y－y0=k(x－x0)；②斜率不存在时，直线方程为x=x0.3．直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4．从函数的角度来看，当斜率k存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k不存在时，直线方程为x=x0，它不是函数解析式。2．直线的两点式方程若直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1≠x2)，则直线l的方程为112121yyxxyyxx，这种形式的方程叫做直线的两点式方程.两点式方程的理解：（1）当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时，不能用两点式112121yyxxyyxx表示它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程；如过两点A(1，2)，B(1，3)的直线方程可以求得x=1，过两点A(1，3)，B(－2，3)的直线方程可以求得y=3.（3）需要特别注意整式(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)与两点式方程112121yyxxyyxx的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。3．直线的截距式方程直线方程的五种形式2若直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a≠0，b≠0，则直线l的方程为1xyab，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：（1）方程的条件限制为a≠0，b≠0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，不可为零。截距式方程的应用（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a|+|b|+22ab；（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S=1||2ab；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k=－1或直线过原点，常设此方程为x+y=a或y=kx.4．直线方程的一般形式方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线的一般式方程.直线的一般式方程的理解1．两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A、B、C三个系数，由于A、B不同时为零，若A≠0，则方程化为0BCxyAA，只需确定,BCAA的值；若B≠0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。3．在一般式Ax+By+C=0（A、B不全为零）中，若A=0，则y=CB，它表示一条与y轴垂直的直线；若B=0，则CxA，它表示一条与x轴垂直的直线.5．直线方程的选择直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线已知一个定点和斜率k已知一点，可设点斜式方程斜截式不能表示与x轴垂直的直线已知在y轴上的截距已知斜率，可设斜截式方程两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线已知两个定点已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的的直线已知两个截距已知直线与坐标轴围成三角形的面积问题可设截距式方程一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程直线方程的五种形式3题型1．直线的点斜式方程例1．一条直线经过点M(－2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程。解：这条直线经过点M(－2，－3)，斜率是k=tanα=－1代入点斜式方程得：y+3=－1×(x+2)，即x+y+5=0，这就是所求直线的方程.例2．求斜率为33，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点M(3，－1)；（2）在x轴上的截距是－5.解：（1）所求直线经过点(3，－1)，斜率为33，所求直线方程为31(3)3yx，即3x－3y－6=0.（2）所求直线的斜率是33，在x轴上的截距为－5，即过点(－5，0)，所求直线的方程为y=33(x+5)，即33530xy.题型2．直线的斜截式方程例3．若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）（A）A、B、C同号（B）AC0，BC0（C）C=0，AB0（D）A=0，BC0解：原方程可化为ACyxBB，因为直线通过第二、三、四象限，所以其斜率小于0，y轴上的截距小于0，即0AB，且0CB，即A、B同号，A、C同号，故选A.例4．直线y=ax+b(a+b=0)的图象是（）解：由已知，直线y=ax+b的斜率为a，在y轴上的截距为b.当x=1时，y=a+b=0，即直线经过点(1，0)，选D.例5．写出过下列两点的直线方程，再化成斜截式方程.（1）P1(2，1)，P2(0，－3)；（2）P1(2，0)，P2(0，3)。解：（1）直线P1P2的两点式方程为：123102yx，整理得斜截式方程为：y=2x－3.（2）直线P1P2的两点式方程为：023002yx，整理得斜截式方程为：y=－23x+3。例6．三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.解：（用两点式求AB所在直线的方程）直线AB经过点A(－5，0)、B(3，－3)，由两点式得5335yx，整理得3x+8y+15=0，这就是直线AB的方程!（用斜截式求BC所在直线方程）直线方程的五种形式4因为B(3，－3)、C(0，2)，所以23533BCk，截距b=2，由斜截式得y=－35x+2，整理得5x+3y－6=0，这就是直线BC的方程.（用截距式求AC所在直线的方程）因为A(－5，0)、C(0，2)，所以直线在x，一轴上的截距分别是－5与2，有截距式得152xy，整理得2x－5y+10=0，这就是直线AC的方程。题型4．直线的截距式方程例7．已知直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程。解：设直线方程为1xyab,因为直线斜率16bka，又1||32Sab，解得61ab或61ab，所求直线方程为x－6y+6=0或x－6y－6=0。例8．过点A(1，4)且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：（1）当直线经过原点时，横截距和纵截距都为0，符合题意；（2）当直线不经过原点时，设直线方程为：1xyab，由题意141||||abab，解得33ab或55ab，综合（1）、（2），符合题意的直线共有三条.故选C.题型5．直线的一般式方程例9．已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6，－4)，并且斜率等于－34的直线方程的点斜式是：y+4=－34(x－6)，化成一般式得：4x+3y－12=0.例10．把直线l的方程x－2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.解：将原方程整理，得斜截式y=21x+3，令y=0，可得x=－6，因此，直线l的斜率k=21，它在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距是3.【教考动向·演练】1．下列说法中不正确的是（D）（A）点斜式y－y0=k(x－x0)适用于不垂直于x轴的任何直线（B）斜截式y=kx+b适用于不垂直x轴的任何直线（C）两点式112121yyxxyyxx适用于不垂直于坐标轴的任何直线（D）截距式1xyab适用于不过原点的任何直线2．直线3x－2y=4的截距式方程为（D）直线方程的五种形式5（A）3142xy（B）11132xy（C）3142xy（D）1423xy3．过点(3，－4)且平行于x轴的直线方程是y+4=0；过点(5，－2)且平行于y轴的直线方程是x－5=0。4．过点P(1，3)的直线分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，求直线的方程.（3x+y－6=0）5．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)，求：（1）△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；（2）BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程.（1）6x－8y－13=0；（2）7x－y－11=0例11．已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2，3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程.解：P(2，3)在已知直线上，所以112223102310abab，两式相减得2(a1－a2)+3(b1－b2)=0，即212123bbaa=12QQk，故所求直线方程为y－b1=－32(x－a1)，即2x+3y－3b1－2a1=0，而2a1+3b1=－1，所求直线方程为2x+3y+1=0.解法二：P(2，3)在已知直线上，所以112223102310abab，可见两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的坐标都满足方程2x+3y+1=0，所以过Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直线方程是2x+3y+1=0.例12．过点P(1，2)作直线l，交x，y轴的正半轴于A、B两点，求使△OAB面积取得最小值时直线l的方程.解：设直线l的截距式方程为：1xyab，依题意a0，b0，又因为点P(1，2)在直线l上，所以121ab，即b+2a=ab，又因为△OAB的面积S=21ab.所以S=21(b+2a)=11214(2)()(22)22babaabab1(44)2≥=4，当且仅当4baab时等号成立.即b=2a时等号成立。由2121baab，解得24ab，所以当且仅当a=2且b=4时，△OAB的面积S取最小值4.此时，直线的方程为124xy，即2x+y－4=0.【教考动向·演练】直线方程的五种形式66．如果AC0，BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过（C）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限7．直线l过点P(1，3)，且与x，y轴正半轴所围成的