抽象代数复习题及答案

..《抽象代数》试题及答案本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)1.设Q是有理数集，规定f(x)=x+2；g(x)=2x+1,则（fg）(x)等于（B）A.221xxB.23xC.245xxD.23xx2.设f是A到B的单射，g是B到C的单射，则gf是A到C的（A）A.单射B.满射C.双射D.可逆映射3.设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S3中与元素（132）不能交换的元的个数是(C)。A.1B.2C.3D.44.在整数环Z中，可逆元的个数是(B)。A.1个B.2个C.4个D.无限个5.剩余类环Z10的子环有(B)。A.3个B.4个C.5个D.6个6.设G是有限群，aG,且a的阶|a|=12,则G中元素8a的阶为(B)A．2B.3C.6D.97．设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是(A)A.111)(ababB.b的阶不一定整除G的阶C.G的单位元不唯一D.G中消去律不成立8.设G是循环群，则以下结论不正确．．．的是(A)A.G的商群不是循环群B.G的任何子群都是正规子群C.G是交换群D.G的任何子群都是循环群9.设集合A={a,b,c},以下AA的子集为等价关系的是(C)A.1R={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B.2R={(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C.3R={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D.4R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10.设f是A到B的满射，g是B到C的满射，则gf是A到C的（B）A.单射B.满射C.双射D.可逆映射11.设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S3中与元素（12）能交换的元的个数是(B)。A.1B.2C.3D.412.在剩余类环8Z中，其可逆元的个数是(D)。A.1个B.2个C.3个D.4个13.设（R，+，·）是环，则下面结论不正确的有(C)。..A.R的零元惟一B.若0xa，则xaC.对aR，a的负元不惟一D.若abac，则bc14.设G是群，aG,且a的阶|a|=12,则G中元素32a的阶为(B)A．2B.3C.6D.915．设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是(A)A.||||aGB.|b|=∞C.G的单位元不唯一D.方程axb在G中无解16.设G是交换群，则以下结论正确．．的是(B)A.G的商群不是交换群B.G的任何子群都是正规子群C.G是循环群D.G的任何子群都是循环群17.设A={1，-1,i，-i}，B={1,-1},:A→B,2aa,a∈A，则是从A到B的(A)。A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射18.设A=R（实数域），B=R（正实数集），:a→a10，a∈A，则是从A到B的(C)。A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射19.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是(C)。A.x→10xB.x→2xC.x→|x|D.x→-x20.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法(C)A.构成一个交换群B.构成一个循环群C.构成一个群D.构成一个交换环21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（D）A.1个B.2个C.3个D.4个22.剩余类加群Z8的子群有(B)。A.3个B.4个C.5个D.6个23.下列含有零因子的环是（B）A.高斯整数环Z[i]B.数域P上的n阶全矩阵环C.偶数环2ZD.剩余类环5Z24．设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（D）A.R中的每个元素都可逆B.R的子环一定是理想C.R一定含有单位元D.R的理想一定是子环25．设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（A）A．4个B.5个C.6个D.7个26.设A={a,b,c}，B={1,2,3},则从集合A到集合B的满射的个数为(D)。A.1B.2C.3D.627.设集合A={a,b,c},则以下集合是集合A的分类的是(C)A.1P={{a,b},{a,c}}B.2P={{a},{b,c},{b,a}}C.3P={{a},{b,c}}D.4P={{a,b},{b,c},{c}}28.设R=00aabZb,，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(A)。A.有单位元的交换环B.无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环29.设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S3的子群的个数是(D)。A.1B.2C.3D.6..30.在高斯整数环Z[i]中，单位元是(B)。A.0B.1C.iD.i31..设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是(B)。A.任意两个子群的乘积还是子群B.任意两个子群的交还是子群C.任意两个子群的并还是子群D.任意子群一定是正规子群32.7阶循环群的生成元个数是(C)。A.1B.2C.6D.733.设A={a,b,c}，B={1,2,3},则从集合A到集合B的映射有(D)。A.1B.6C.18D.2734.设,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（D）A.0和x；B.1和0；C.k和kx2；D.k和)2(kx}35.设cba,,和x都是群G中的元素，且xacacxbxcax,12，那么x（A）A.11abc；B.11ac；C.11bca；D.cab1。36.下列正确的命题是（A）A.欧氏环一定是唯一分解环；B.主理想环必是欧氏环；C.唯一分解环必是主理想环；D.唯一分解环必是欧氏环。37．设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,。如果|H|6，那么G的阶G（B）A.6；B.24；C.10；D.12。38.设G是有限群，则以下结论正确．．的是（A）A.G的子群的阶整除G的阶B.G的任何子群都是正规子群C.G是交换群D.G的任何子群都是循环群39．设21:GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（D）A.f的同态核是1G的正规子群；B.2G的正规子群的原象是1G的正规子群；C.1G的子群的象是2G的子群；D.1G的正规子群的象是2G的正规子群。40.关于半群，下列说法正确的是：（A）A.半群可以有无穷多个右单位元B.半群一定有一个右单位元C.半群如果有右单位元则一定有左单位元D.半群一定至少有一个左单位元二、填空题(每空3分)1.设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有（mn）个.2.n次对称群nS的阶是（n！）.3.一个有限非交换群至少含有（6）个元素.4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有（　　　　)1p个.5.除环的理想共有（2）个...6.剩余类环6Z的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是（［4］）.7.在i+3,2,e-3中，（3i）是有理数域Q上的代数元.8.2在有理数域Q上的极小多项式是（2x2）.9.设集合A={a,b}，B={1,2,3}，则AB=（)}.3,b(),3,a(),2,b(),2,a(),1,b,1,a{(（））10.设R是交换环，则主理想)(a=（Z}.mR,r|ma{raRa）11．设),3154(则).1345(112.设F是9阶有限域，则F的特征是（3）.13．设)2154(),351(21是两个循环置换，则12（（1342））14.设F是125阶有限整环，则F的特征是（5）.15.设集合A含有3个元素，则AA的元素共有（9）个.16.设群G的阶是2n,子群H是G的正规子群，其阶是n,则G关于H的商群所含元素的个数是（2）.17.设a、b是群G的两个元，则1)ab(=（11ab）.18.环10Z的可逆元是（]9[],7[],3[],1[）.19.欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环，但欧式环一定是主理想环）.20．如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则a)(1aff。21.设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为（nm整除）。22．设)31425(是一个5-循环置换，那么)).52413((1。23．有限群G的阶是素数p，则G是（循环）群。24．若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为（}Ry,x|ayx{iiiii有限和）。25．群),(12Z的子群有（6）个。26．由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个（群G的变换群）同构。27．设A、B分别是m、n个元组成的集合，则||BA=（mn）。28．设A={a,b,c}，则可定义A的（5）个不同的等价关系。A的分类M={{a,c},{b}}确定的等价关系是R)}a,c(),c,a(),c,c(),b,b(),a,a({(）。29.设G是6阶循环群，则G的生成元有（2）个。30.非零复数乘群C*中由-i生成的子群是（1}1,,i,i{）。31.剩余类环Z7的零因子个数等于（0）。32.素数阶有限群G的子群个数等于（2）。33.剩余类环Z6的子环S={［0］,［3］},则S的单位元是（]3[）。34．群:G~~G，e是G的单位元，则)(e是（G的单位元）。35.复数域的特征是（0）.36.在剩余类环),,(Z12中，]7[]6[=（]6[）.37.在3-次对称群3S中，元素)123(的阶为：（3）.38.设Z和mZ分别表示整数环和模m剩余类环，则环同态]n[n,ZZ:fm的同态核为（}Zr|mr{mZ）39.32在有理数域上的极小多项式为（2x3）40.无限循环群一定和（整数加群),Z(）同构...三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“”，每小题3分)1.设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（）2.群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。（√）3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。f:G→G是一个映射，且f(x)=7x,xG.则f是G到G的同态映射。（）4.一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（）5.设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（√）6.设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群nZ。（√）7.设:GG是群同态，则将G的单位元不一定映射为G的单位元。（）8.设R是环，A，B是R的任意两个理想，则AB也是环R的理想。（√）9.域的特征可以为任何自然数.（）10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.（√）11.4次交错群4A在4次对称群4S中的指数为4.（）12.复数域是实数域的单代数扩张。（√）13.除环一定是域.（）14.3-次对称群3S的中心是(1).（√）15.整数环的商域是有理数域.（√）16.无限循环群和整数加群同构.（√）17.多项式3x2在有理数域上可约。（）18.在特征为p的域F中始终有.Fb,a,ba)ba(ppp（√）19.高斯整数环]i[Z是唯一分解环.（√）20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。（）21.有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。（√）22.设21GG:是群21GG到群的同态，则同态核)(Ker是1G的正规子群.（√）23.素数阶群不一定是循环群。（）24.设),,Z(为整数环，p为素数，则),(pZ,是),,Z(的极大理想。（√）..四、证明题1.设Q为有理数域，设},|2{QbabaT，则T按数的乘