立体几何基础题题库(600道附详细答案)

--1--立体几何基础题题库（有详细答案）1、二面角l是直二面角，BA，，设直线AB与、所成的角分别为∠1和∠2，则（A）∠1+∠2=900（B）∠1+∠2≥900（C）∠1+∠2≤900（D）∠1+∠2＜900解析：C21BA如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB与平面,所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO1902190ABO2.下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是PPPPQQQQRRRRSSSSPPPPQQQQRRRRSSSSPPPPQQQQRRRRSSSSPPPPQQQQRRRRSSSS（A）（B）（C）（D）D解析：A项：PS底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形B项：如图SRQPCDC'D'BB'AA'C项：是个平行四边形--2--D项：是异面直线。3.有三个平面，β，γ，下列命题中正确的是（A）若，β，γ两两相交，则有三条交线（B）若⊥β，⊥γ，则β∥γ（C）若⊥γ，β∩=a，β∩γ=b，则a⊥b（D）若∥β，β∩γ=，则∩γ=D解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C项：如图4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为ABPA1B1OABPA1B1ABPA1B1OABPA1B1OABCDPA1B1C1D1C解析：11BC平面AB111,BCPB，如图：PCDC'D'BB'AA'P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是（A）4条（B）6条（C）8条（D）10条C--3--解析：如图DCC'D'BB'AA'这样的直线有4条，另外，这样的DCC'D'BB'A'A直线也有4条，共8条。6.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0ACAB，0ADAC，0ADAB，则△BCD是（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三角形（D）不确定C解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且abc则，BD=22ab，CD=22cb，BC=22ac如图cbaDCBA则BD为最长边，根据余弦定理2222222222222cos02accbabDCBaccbDCB最大角为锐角。所以△BCD是锐角三角形。7.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题（）①若//,,baba则②若aa则,,//③//,,aa则④则若,,,baba其中正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个B解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或b均有，故只有一个正确命题--4--8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°B解析：平移SC到BS，运用余弦定理可算得.2BSESBE9.对于平面M与平面N,有下列条件:①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M内不共线的三点到N的距离相等;④l,M内的两条直线,且l//M,m//N;⑤l,m是异面直线,且l//M,m//M;l//N,m//N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是（）A．1B．2C．3D．4只有②、⑤能判定M//N，选B10.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1所成的角为（A）450（B）600（C）900（D）1200C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1B⊥AC1，选C。ABCA1B1C1--5--11.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为A.3πB.23πC.25πD.3π解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证12.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C）．13.已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是．解析：（1）成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、n在平面的同一侧，且它们到的距离相等，则平面为所求，（4）成立，当m、n所在的平面与平面垂直时，平面内不存在到m、n距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）A．3B．1或2C．1或3D．2或3解析：C如三棱柱的三个侧面。15．若ba、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：D如正方体的棱长。16．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（）--6--A．6B．4C．3D．2解析：DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。17．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）解析：CA，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：SRQPCDC'D'BB'AA'18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°解析：B如图CBA★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行--7--③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④解析：DNMFEDCBA19．线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则△ABC是（）A．等边三角形B非等边的等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：B．设AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。∴△ABC是不等边的等腰三角形，选（B）．20．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是3，l与a、l与b所成的角都是，则的取值范围是（）A．[65,6]B．[2,3]C．[65,3]D．[2,6]解析：D解当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值6，当l与a、b的公垂线平行--8--时，a取得最大值2，故选（D）．21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7m,留在墙壁部分的影高1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_______.4．2米解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，1.21,0.9CDCECECE=1.08米，树影长BE=2.71.083.78米，树高AB=10.9BE=4.2米。22．如图,正四面体ABCD（空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中,,EF分别是棱,ADBC的中点,则EF和AC所成的角的大小是________.解析：设各棱长为2，则EF=2，取AB的中点为M，2cos.2MFE即.423．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直ABCDEFABEDC--9--线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长为_______.解析：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9，OY2+OZ2=16，得OX2+OY2+OZ2=37，OP=37．24．设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.解析：当直线a，b共面时，可确定一个平面；当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．25.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线.解析：假设EF和AD在同一平面内，…（2分），则A，B，E，F；……（4分）又A，EAB，∴AB，∴B，……（6分）同理C……（8分）故A，B，C，D，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．26.在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC+BD=a，ACBD=b，求22EGFH.解析：四边形EFGH是平行四边形，…………（4分）22EGFH=222()EFFG=22211()(2)22ACBDab27.如图，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90º，AC=b,BC=a,P是⊿ABC所在平面外一点，PB⊥AB，M是PA的中点，AB⊥MC，求异面直MC与PB间的距离.解析：作MN//AB交PB于点N．（2分）∵PB⊥AB，∴PB⊥MN。（4分）又AB⊥MC，∴MN⊥MC．（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离，则得ABCDEHFGPABCMN--10--MN=12AB=221.2ab28.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB，E、F分别是BD1和AD中点.（1）求异面直线CD1、EF所成的角；（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.（1）解析：∵在平行四边形11BADC中，E也是1AC的中点，∴1//EFCD，（2分）∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（4分）又A1A=AB，长方体的侧面1111,ABBACDDC都是正方形，∴D1CCD1∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分）（2）证：设AB=AA1=a,∵D1F=,422BFADa∴EF⊥BD1.（9分）由平行四边形11BADC，知E也是1AC的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）29.⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC=72，PA=32，延长BP至D，使BD=7，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.解析：分别连接PE和CD，可证PE//CD，（2分）则∠PEA即是FEA1D1C1CB1BADFEA1D1C1CB1BADACBDPE--11--AE和CD所成角．（4分）在Rt⊿PBE中，PB=72，BE=1，∴PE=32。在⊿AEP中，AE=3，cosAEP393443232=12．∴∠AEP=60º，即AE和CD所成角是