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1习题课1匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式[学习目标]1.掌握三个平均速度公式及其适用条件，会应用平均速度公式求解相关问题.2.会推导Δx＝aT2并会用它解决相关问题．一、匀变速直线运动的平均速度公式[导学探究]一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，经过一段时间末速度为v.(1)画出物体的v－t图象，求出物体在这段时间内的平均速度．(2)在图象中表示出中间时刻的瞬时速度vt2，并求出vt2.(结果用v0、v表示)答案(1)v－t图象如图所示因为v－t图象与t轴所围面积表示位移，t时间内物体的位移可表示为x＝v0＋v2·t①平均速度v＝xt②由①②两式得v＝v0＋v2.(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：vt2＝v0＋v2.[知识深化]三个平均速度公式及适用条件1.v＝xt，适用于所有运动．2.v＝v0＋v2，适用于匀变速直线运动．3.v＝vt2，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速2直线运动．例1某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为()A．vtB.vt2C．2vtD．不能确定答案B解析因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x＝vt＝0＋v2t＝v2t.B正确．例2一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2m/s,4s内位移为20m，求：(1)质点4s内的平均速度；(2)质点4s末的速度；(3)质点2s末的速度．答案(1)5m/s(2)8m/s(3)5m/s解析(1)利用平均速度公式：4s内的平均速度v＝xt＝204m/s＝5m/s(2)因为v＝v0＋v2，代入数据解得，4s末的速度v4＝8m/s.(3)2s末为这段时间的中间时刻，故v2＝v＝5m/s.二、位移差公式Δx＝aT2[导学探究]物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为x1，紧接着第二个T时间内的位移为x2.试证明：Δx＝aT2.答案见解析解析证明：设物体的初速度为v0自计时起T时间内的位移x1＝v0T＋12aT2①在第2个T时间内的位移x2＝v0·2T＋12a(2T)2－x1＝v0T＋32aT2.②由①②两式得连续相等时间内的位移差为Δx＝x2－x1＝v0T＋32aT2－v0T－12aT2＝aT2，即Δx＝aT2.[知识深化]位移差公式31．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2.2．应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．(2)求加速度利用Δx＝aT2，可求得a＝ΔxT2.例3一个做匀加速直线运动的物体，在前4s内经过的位移为24m，在第2个4s内经过的位移是60m，求这个物体的加速度和初速度各是多少？答案2.25m/s21.5m/s解析由公式Δx＝aT2得：a＝ΔxT2＝x2－x1T2＝60－2442m/s2＝2.25m/s2，这8s中间时刻的速度v＝x1＋x22T＝60＋242×4m/s＝10.5m/s而v＝v0＋at，得：v0＝1.5m/s.例4从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图1所示的照片，测得xAB＝15cm，xBC＝20cm.试求：图1(1)小球的加速度是多少？(2)拍摄时小球B的速度是多少？(3)拍摄时xCD是多少？答案(1)5m/s2(2)1.75m/s(3)0.25m解析小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为a＝ΔxT2＝xBC－xABT2＝20×10－2－15×10－20.12m/s2＝5m/s2.4(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即vB＝vAC＝xAC2T＝20×10－2＋15×10－22×0.1m/s＝1.75m/s.(3)由于连续相等时间内的位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2m－15×10－2m＝0.25m.三、匀变速直线运动的规律总结1．两个基本公式：v＝v0＋atx＝v0t＋12at2上两个公式中包括五个物理量，原则上已知其中三个物理量可以求解另外两个物理量，由这两个基本公式可以解决所有的匀变速直线运动问题．解题时要注意公式的矢量性，先根据规定好的正方向确定好所有矢量的正负值．2．几个导出公式及特点(1)v2－v02＝2ax此式不涉及时间，若题目中已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往比较简单．(2)x＝vt普遍适用于各种运动，而v＝v0＋v2＝vt2只适用于匀变速直线运动，两者相结合可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度．(3)x2－x1＝aT2适用于匀变速直线运动，进一步的推论有xm－xn＝(m－n)aT2(其中T为连续相等的时间间隔，xm为第m个时间间隔内的位移，xn为第n个时间间隔内的位移)．例5一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中先后经过相距27m的A、B两点所用时间为2s，汽车经过B点时的速度为15m/s.求：(1)汽车经过A点时的速度大小和加速度大小；(2)汽车从出发点到A点经过的距离；(3)汽车经过B点后再经过2s到达C点，则BC间距离为多少？答案(1)12m/s1.5m/s2(2)48m(3)33m解析(1)设汽车初始运动方向为正方向，过A点时速度为vA，则AB段平均速度为vAB＝vA＋vB2故由x＝vt＝vABt＝vA＋vB2t，解得vA＝12m/s.对AB段：a＝vB－vAtAB＝1.5m/s2.(2)对OA段(v0＝0)：由v2－v02＝2ax5得xOA＝vA2－v022a＝48m.(3)汽车经过BC段的时间等于经过AB段的时间，根据公式x2－x1＝aT2对于AC段有：xBC－xAB＝aT2，得xBC＝xAB＋aT2＝27m＋1.5×22m＝33m.1．(基本公式的理解和应用)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋2t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点()A．初速度为5m/sB．加速度为2m/s2C．前2s内的平均速度是6m/sD．任意1s内的速度增量都是2m/s答案A解析匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋12at2，对照x＝5t＋2t2，可得v0＝5m/s，a＝4m/s2，A对，B错．前2秒内的位移为18m，平均速度v＝18m2s＝9m/s，C错．根据加速度a＝4m/s2，速度与加速度方向相同，质点做加速运动，即任意1s内的速度增量都是4m/s，D错．2．(平均速度公式的应用)一质点从静止开始由A点先做匀加速直线运动到B点，然后从B点做匀减速直线运动到C点时速度刚好为零．已知tAB＝2tBC，那么在AB段和BC段()A．加速度大小之比为2∶1B．位移大小之比为1∶2C．平均速度大小之比为2∶1D．平均速度大小之比为1∶1答案D解析设B点速度为v，tBC＝t加速度a1＝v2t，a2＝vt故a1∶a2＝1∶2，选项A错误；v1＝0＋v2＝v2v2＝v＋02＝v2故v1∶v2＝1∶1，选项C错误，D正确．x1＝2v1t，x2＝v2t，故x1∶x2＝2∶1，选项B6错误．3．(位移差公式的应用)(多选)如图2所示物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2m,BC＝3m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2s，则下列说法正确的是()图2A．物体的加速度为20m/s2B．物体的加速度为25m/s2C．CD＝4mD．CD＝5m答案BC解析由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2可得：a＝BC－ABT2＝10.04m/s2＝25m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4m，故C正确，D错误．4．(平均速度和位移差公式的应用)(多选)一质点做匀加速直线运动，第3s内的位移是2m，第4s内的位移是2.5m，那么以下说法正确的是()A．第2s内的位移是2.5mB．第3s末的瞬时速度是2.25m/sC．质点的加速度是0.125m/s2D．质点的加速度是0.5m/s2答案BD解析由Δx＝aT2，得a＝x4－x3T2＝2.5－212m/s2＝0.5m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2s内的位移x2＝1.5m，A、C错误，D正确；v3＝x3＋x42T＝2.25m/s，B正确；故选B、D.课时作业一、选择题(1～6为单项选择题，7～8为多项选择题)1．一质点做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10m，B、C间的距离为14m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等．则O与A的距离为()A．8mB．6mC．4mD．2m答案B解析根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔T内物体的位移之差Δx＝aT2，则x3－x2＝x2－x1，所以x1＝2x2－x3＝2×10m－14m＝6m，选项B正确．72．一颗子弹以大小为v的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为x，如果子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为()A.xvB.2xvC.2xvD.x2v答案B解析由v＝v2和x＝vt得t＝2xv，B选项正确．3．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9s停止，已知物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平面上的位移之比是()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．3∶1答案C解析设物体到达斜面底端时的速度为v，在斜面上的平均速度v1＝v2，在斜面上的位移x1＝v1t1＝v2t1在水平地面上的平均速度v2＝v2，在水平地面上的位移x2＝v2t2＝v2t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3.故选C.4．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动．已知汽车从启动到停止一共经历了10s，前进了25m，在此过程中，汽车的最大速度为()A．2.5m/sB．5m/sC．7.5m/sD．10m/s答案B解析设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，加速阶段的平均速度v1＝0＋vm2＝vm2减速阶段的平均速度v2＝vm＋02＝vm2x＝v1t1＋v2t2＝vm2(t1＋t2)＝12vmt，解得vm＝5m/s.5.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图1所示．在这段时间内()8图1A．汽车甲的平均速度比乙大B．汽车乙的平均速度等于v1＋v22C．甲、乙两汽车的位移相同D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大答案A解析根据v－t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝xt得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于v1＋v22，选项B错误；根据v－t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．6．一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过A、B、C三点，已知AB＝6m，BC＝10m，小球通过AB、BC所用的时间均为2s，则小球经过A、B、C三点时的速度分别为()A．2m/s,3m/s,4m/sB．2m/s,4m/s,6m/sC．3m/s,4m/s,5m/sD．3m/s,5m/s,7m/s答案B解析BC－AB＝aT2，a＝44m/s2＝1m/s2vB＝AB＋BC2T＝6＋102×2m/s＝4m/s由vB＝vA＋aT，得vA＝vB－aT＝(4－1×2)m/s＝2m/s，vC＝vB＋aT＝(4＋1×2)m/s＝6m/s，B正确．7．一辆汽车从静止开始由甲地出发