51-3岩石力学与工程岩石本构关系与强度理论

5岩石本构关系与强度理论5.1概念岩石和岩体的物理力学性质，一般可以用弹性、塑性、粘性或三者的组合等模型来描述。（1）本构关系1.弹性本构关系即当岩石在外载荷作用下，岩石变形处于弹性变形阶段时的本构关系。2.塑性本构关系即当岩石在外载荷作用下，岩石变形处于塑性变形阶段时的本构关系。2019/8/1013.流变本构关系如果岩石在外载荷作用条件不变的条件下，岩石的应变或应力还随时间而变化，则称该岩石具有流变性，此时的本构关系称为岩石的流变本构关系。（2）强度理论指采用判断、推理的方法，推测材料在复杂应力状态下破坏的原因，而建立强度准则，所提出的一些假设。总之，岩石的力学性质可分为变形性质和强度性质两类，变形性质主要通过本构关系来反映，而强度性质则主要通过强度准则来反映。2019/8/1025.2岩石弹性问题的求解（1）岩石弹性问题的求解步骤（2）平衡微分方程2019/8/103平衡微分方程应力场解几何方程结合边界条件位移场解物理方程或本构方程00yyxyxyxxfyxfyx（3）几何方程（4）物理方程（弹性本构关系）2019/8/104xyxyuxvyvuxy1121xxyyyxxyxyEEE22111121xxyyyxxyxyEEE（5）边界条件1.位移边界条件2.应力边界条件3.混合边界条件2019/8/105svvsuuss，（在上）ussflmsfmlysxyyxsyxx（在上）s5.3岩石流变理论5.3.1概念（1）研究背景1.各种岩土工程，无一不和时间因素有关；2.是岩石力学的重要研究内容之一；3.存在的问题尚多，理论与实验研究仍有待进一步加强。（2）流变现象1.流变性质：是指材料的应力-应变关系与时间因素有关的性质。2.流变现象：材料变形过程中具有时间效应的现象。3.岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。2019/8/1064.蠕变：是当应力不变时，变形随时间的增加而增长的现象。5.松弛：是当应变不变时，应力随时间增加而减小的现象。6.弹性后效：是加载或卸载时，弹性应变滞后于应力的现象。7.粘性流动：即蠕变一段时间后卸载，部分应变永久不恢复的现象。（3）研究蠕变的意义1.中硬以下岩石及软岩中开挖的地下工程，大都需要经过半个月甚至半年时间变形才能稳定；或处于无休止的变形状态，直至破坏失稳。2.解决地下工程的设计和维护问题。2019/8/107（4）蠕变的三个阶段如图5-1中的abcd曲线所示，蠕变过程可分为三个阶段：1.第一蠕变阶段：如曲线中ab段所示，应变速率随时间增加而减小，故称为减速蠕变阶段或初始蠕变阶段；2.第二蠕变阶段：如曲线中bc段所示，应变速率保持不变，故称为等速蠕变阶段；3.第三蠕变阶段：如曲线中cd段所示，应变速率迅速增加直到岩石破坏，故称为加速蠕变阶段。A2019/8/108εdcbat0BC图5-1岩石蠕变曲线（5）岩石的长期强度当岩石的应力超过某一临界值时，蠕变向不稳定蠕变发展；当岩石的应力小于该临界值时，蠕变按稳定蠕变发展。通常称此临界应力为岩石的长期强度。5.3.2流变模型理论流变性主要研究岩石在流变过程中的应力、应变和时间的关系，即通过应力、应变和时间组成的流变方程来表示。流变方程主要包括本构方程、蠕变方程和松弛方程。在一系列的岩石流变试验基础上建立反映岩石流变性质的方程，通常有两种方法：2019/8/109（1）经验方程法即根据岩石蠕变试验结果，由数理统计学的回归拟合方法建立的方程。通常形式为：（2）微分方程法本方法是将岩石介质理想化，归纳成各种模型，模型可用理想化的具有基本性能（弹性、塑性和粘性）的元件组合而成。通过这些元件不同形式的串联和并联得到一些典型的流变模型体，相应地推导出它们的有关微分方程。2019/8/10100123tttt（5-10）5.3.3基本元件（1）弹性元件（虎克体H）1.定义如果材料在载荷作用下，其变形性质完全符合虎克定律，即是一种理想的弹性体，则称此种材料为虎克体，用符号H代表。2.力学模型2019/8/1011图5-2虎克体力学模型及其动态3.本构方程4.虎克体的性能1）具有瞬时弹性变形性质，无论载荷大小，只要不为零，就有相应的应变，当为零时，也为零，说明虎克体没有弹性后效，即与时间无关；2）应变恒定时，应力也保持恒定不变，应力不会因时间增长而减小，故无应力松弛性质；3）应力保持恒定时，应变也保持不变，即无蠕变性质。2019/8/1012K（5-11）（2）塑性元件（库仑体C）1.定义当物体所受的应力达到屈服极限时，便开始产生塑性变形，即使应力不再增加，变形仍然不断增长，具有这一性质的物体为塑性体，用符合Y来代表。2.力学模型2019/8/1013图5-3塑性体力学模型及其动态3.本构方程4.塑性体的性能1）当物体所受的应力小于屈服极限时，模型表现为刚形体；2）当物体所受的应力大于或等于屈服极限时，模型表现为理想塑性体，即具有塑性流动的特点。2019/8/10140,ss当时，时，（5-12）（3）粘性元件（牛顿体N）1.定义牛顿流体是一种理想粘性体，即应力与应变速率成正比，用符号N表示。2.力学模型2019/8/1015图5-4牛顿流体力学模型及其动态3.本构方程将（5-13）式积分，得：式中：C——积分常数，当时，C=0，则：4.牛顿体的性质1）从（5-15）式可以看出，当t=0时，ε=0。当应力为时，完成其相应的应变需要时间，说明应变与时间有关，牛顿体无瞬时变形。2019/8/1016ddt或（5-13）1tC（5-14）1t（5-15）01t2）当时，即，积分后得，表明除去外力后应变为常数，活塞的位移立即停止，不再恢复，只有再受到相应的压力时，活塞才回到原位。所以牛顿体无弹性后效，有永久形变。3）当应变时，，说明当应变保持某一恒定值后，应力为零，即无应力松弛性能。2019/8/101700常数常数05.4组合流变模型三种基本元件进行组合时应力、应变的计算规则：1.串联组合体中各元件的应力相等；应变等于各元件应变之和。2.并联组合体中各元件的应变相等；应力等于各元件应力之和。5.4.1圣维南体（St.V:H-C）（1）力学模型2019/8/1018图5-5圣维南体力学模型（2）本构方程本构图形2019/8/1019,,ssk（5-16）图5-6圣维南体本构关系示意图（3）卸载特性如在某一时刻卸载，使，则弹性变形全部恢复，塑性变形停止，但已发生的塑性变形永久保留。（4）圣维南体的特性1.代表理想弹塑性体，它无蠕变，无松弛也无弹性后效。2.本构关系与时间t无关，故不属于流变模型，但它是复合体模型中常见的一个组成部分。2019/8/102005.4.2马克斯威尔体（M:H-N）（1）力学模型（2）本构方程由串联关系可得：2019/8/1021图5-7马克斯威尔体力学模型1212由于1211k所以本构方程为：（3）蠕变方程在恒定载荷作用下，则，其本构方程可化简为：解此微分方程，代入初始条件，得蠕变方程：2019/8/102211k（5-17）00ddt01001tk（5-18）（4）松弛方程当保持不变时，则有，因此本构方程可变为：解此方程，代入初始条件，可得松弛方程：（5）松弛时间令，则（5-19）式可变为：当t=t1时定义：规定应力降到初始应力的37%时，所需要的时间为松弛时间。2019/8/10230110k0kte（5-19）1tk10tte1000.37e（6）马克斯威尔体的特性1.具有瞬时变形，并随着时间增长应变逐渐增大，即具有等速蠕变的性质；2.当应变恒定时，应力随时间的增长而逐渐减小，即马克斯威尔体模型具有松弛效应。2019/8/1024图5-8马克斯威尔体的蠕变曲线和松弛曲线5.4.3开尔文体（K:H/N）（1）力学模型（2）本构方程由于二元并联关系可得：因此开尔文体的本构方程为：2019/8/1025图5-9开尔文体力学模型12121122,kkk（5-20）（3）蠕变方程如果在时，施加一个不变的应力后，保持恒定，根据本构方程可得：解上述微分方程，代入初始条件，可得蠕变方程：（4）卸载方程在时卸载，即，代入本构方程：2019/8/10260t0001kk01ktek（5-21）1tt00k解上述微分方程可得：当时，，结合本构方程，可得卸载方程：由式（5-21）和（5-22）可得如下曲线2019/8/10271ktAe1tt1101kktteek或11ktte（5-22）图5-10开尔文体蠕变曲线和弹性后效曲线（5）松弛方程当模型的应变恒定时，即，此时的本构方程为：由（5-23）式可以看出，当应变保持恒定时，应力也保持恒定，并不随时间增加而减小，即本模型没有应力松弛性质。（6）开尔文体的特性1.属于稳定蠕变模型；2.具有弹性后效性质，没有松弛性质。2019/8/10280常数k（5-23）5.4.4理想粘塑性体（C/N）（1）力学模型2019/8/10291,s2,图5-11理想粘塑性体力学模型（2）本构方程根据并联规则：这两个元件的本构关系为：根据本构关系可知，当时，，说明此时模型表现为刚体性质。但当时，，此时为理想粘塑性体。因此，本模型的本构方程为：2019/8/10301212112,0,sss0sssss0当，当，（5-24）（3）蠕变方程1.当时，本模型属于刚体，没有蠕变性质。2.当时，设有恒载，代入本构方程有：解此微分方程，代入初始条件，可得蠕变方程：（4）理想粘塑性体特性本模型没有弹性和弹性后效，有不稳定蠕变。2019/8/1031ss0s0sddt0st（5-25）5.4.5广义开尔文体（广义K:H-K）（1）力学模型（2）本构方程由于串联有：对于弹簧有：对于开尔文体有：2019/8/103222,k11,k2,图5-14广义开尔文体力学模型121212,,111111,kk2222k所以2019/8/1033212kk211k112kkk化简上式可得广义开尔文体本构方程：22111kkkk（5-26）（3）蠕变方程在恒定载荷作用下，由于广义开尔文体由弹簧和开尔文体两部分组成，其蠕变也是由两部分组成。对于弹簧只有瞬时变形，对于开尔文体，其蠕变方程为，可应用叠加法，所以广义开尔文体在恒定应力作用下的蠕变方程为：2019/8/1034001k2021ktek200121ktekk（4）弹性后效（卸载效应）如果在时刻卸载，虎克体产生的弹性变形立即恢复，但是开尔文体的变形则需要经过较长时间才能恢复到零，其卸载方程和开尔文体的卸载方程相类似，只是用代替即可。其蠕变曲线和