5岩体工程中的反分析方法

5岩体工程中的反分析方法绪论有限元法正分析简要线弹性位移反分析粘弹性位移反分析工程应用主要内容：5.1绪论随着上世纪六十年代，电子计算机的问世和快速发展，数值方法成为岩体工程问题分析的主要手段，如何确定本构模型和输入参数就成为这种手段能否成功应用的关键，在通过试验手段获得参数比较困难的背景下，通过现场测定位移反求地应力和岩体力学参数的“反分析方法”被提出，经过多年的研究，目前已成为岩石力学一个独立分支。5.1.1问题产生及发展历史岩石力学中的反分析最早由Kavangh（1973）、Gioda和Maier（1980）等人提出，Sakurai（1983）完成了岩体弹性模量和初始地应力的线弹性有限元位移反分析，此后又发展了弹塑性、粘弹性、粘塑性等非线性位移反分析，并引入了误差分析、优化技术等一些手段，以求获得非线性反分析中的最佳值。5.1.2正分析与反分析已知系统的模型已知输入求输出)(tq)(t1正分析2反分析已知系统的模型)(tq求输入已知输出量测值)()(tt①)(tq已知输入已知输出量测值已知系统的模型结构求模型未知参数)()(tt②岩石力学中的反分析主要有以下几种类型：1.已知岩体的本构模型、初始地应力和位移量测值，求岩体物理力学参数;2.已知岩体的本构模型、物理力学参数和位移量测值，求初始地应力;3.已知岩体的本构模型、物理力学参数、初始地应力和位移量测值，求开挖空间最佳几何形状；4.已知初始地应力和位移量测值，求岩体的本构模型及模型参数，即系统辨识。3反分析问题的特点多解性、无解性、不稳定性。5.1.3反分析中的几个要素1模型模型是“原型”的一种“类似”，任何模型都不能反映出原型的一切特征。模型的表达形式可以是概念的、物理的或数学的，用数学描述形式建立的模型为数学模型。2参数和状态参数是系统的内部状态变量，反映了系统的本质，是不可测量的；状态是系统的外部表现，是可以测量的。在岩石力学数学模型中，因变量，如位移、应力、应变均为外部状态变量，弹性模量、泊松比、内粘结力等均为参数。3准则函数由于模型的近似性和量测误差的存在，在已知量和待求量之间对等的情况下，求出的结果往往不能很好地反映系统的本质。可行的方法就是增加已知量的数量，求待求量的最优值，为此需要引入一个准则函数。准则函数有两类：以量测值为基础的第一类准则函数；以量测误差及其统计特性为基础的第二类准则函数。常用准则函数。21])()([iinittyJ①常规最小二乘法（OLS法）②高斯——马尔可夫估计（GM法）③最大似然估计（ML法）④贝叶斯估计（MAP法）niiiittyJ122])()([niiypJ1)/(dYpJ)/()ˆ(25.1.4反分析求解方法1逆法将模型输出表达成待求量的显函数，与量测值构成准则函数直接求解。2正法当模型输出不能表达成待求量的显函数时，先给出待求量的初值，计算出模型的输出，与量测值一起代入准则函数求出准则函数值，按一定的路径待求量的值，可计算出一系列准则函数值，使得准则函数值达到最小的待求量值即为最优值。该方法是由一系列正算过程构成，故名正法。其适用范围较逆法更广。正法中要用到最优化方法，最常用的有模式搜索法、变量轮换法、单纯形法、鲍威尔法。5.2.1有限单元法的基本思路将连续求解域离散为有限个、按一定方式相互连接在一起的单元组合体，在每个单元内用一假设的位移函数来表示待求的未知位移场函数，而假设的位移函数用单元节点上的未知位移来表示，以此可导出单元内以未知节点位移所表示的应力、应变，最后通过最小势能原5.2有限元法正分析简要理导出单元每个节点上以未知节点位移表示的平衡方程，整个求解域所有节点平衡方程将构成一方程组，通过求解该方程组可求得各节点上的位移，从而求得单元内的位移、应力、应变。总之，有限单元法就是将连续无限自由度问题转变为求离散的有限自由度问题，将偏微分方程组的求解转化为代数方程组的求解。对求解连续体的边值问题，有限单元法是一种近似方法，近似的程度随单元划分加密而提高，但会带来计算工作量的增加。5.2.2有限单元法求解的一般过程1.确定计算模型，包括计算坐标系、模型整体尺寸、边界条件、计算参数和地应力场；2.单元划分，平面三角形（3、6、7节点）、平面四边形（4、8、9节点）、四面体、六面体（8、20、21节点）；3.选择位移模式（形函数）；yx4.单元刚度分析；5.总刚度分析；6.节点等效载荷分析；7.整体平衡方程建立；8.已知边界条件引入；9.求解平衡方程，获得节点位移；10.根据几何和物理方程求单元高斯点应变和应力；11.计算结果后处理（绘制位移、应力、塑性区曲线图或等值线图①位移模式188212eN5.2.3有限单元法正分析基本方程以平面四节点的等参单元为例。等参数单元解决了矩形复杂性问题，坐标变换与位移变幻的形函数一样。其中：Tvu,ININININN4321Tevuvuvuvu44332211,,,,,,,00114/1iN②几何方程188313eB其中：Txyyx,,4321BBBBBxNyNyNxNBiiiii00（i=1、2、3、4）根据等参单元的坐标变换式：4141iiiiiiyNyxNxyyNxxNNyyNxxNNiiiiii得：yNxNJyNxNyxyxNNiiiiii其中：41414141iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ用矩阵表示：4433221143214321yxyxyxyxNNNNNNNN③本构方程188333133313eeBDD其中：Txyyx,,④单元势能分析a单元应变能eeTeTeeTeTeTeTexyxyyyxxedxdyBDBhdxdyBDBhdxdyDhdxdyhdxdyhV22222令1111ddJBDBhdxdyBDBhKTeTe则eeeTeKV21b体积力势能设体积力Tyxeppp,则体积力势能为：1111dhdJpNdxdypNhdxdyphTeTeTeTeTc表面力势能设面力Tyxeqqq,则面力势能为：sTeTsTeTsThdspNdsqNhdsqhd集中力势能设集中力TyxeRRR,则集中力势能为：eeTRe单元总势能seeTeeTeTeeeTeRhdsqNhdxdypNK)(21将所有单元势能叠加得系统总势能FKTTe21根据最小势能原理，真实解应使系统势能最小即0由此得系统总平衡方程FK引入位移边界条件，得最终求解方程：FK~~~5.3线弹性位移反分析5.3.1反分析基本公式以隧道开挖平面应变问题为例。设开挖边界上的初始地应力为：Txyyx},,{}{将该初始地应力转化开挖边界上的等效节点力：dshBFsT}{][}{或写成：321][][][}{BBBFxyyx在整个求解域上：321][][][}{BBBFxyyx根据有限元求解基本方程：FK令：][][*KEK则：321][][][}{][*BBBKExyyx假定量测点与有限元网格节点重合，则可把节点位移分成已知和待求量部分：TNM}{,}{相应的平衡方程写为：23132212211122211211][][][][][][}{}{****BBBBBBKKKKExyyxNM将未知位移消去：xyxyyyxxMNBBBKE][][][}{][*其中：211221211][][][][][**BKKBBx221221212][][][][][**BKKBBy231221213][][][][][**BKKBBxy][][][][][*211*22*12*11*KKKKKN}{][}{0AM上式可简写为：其中：]][][,][][,][][[][1*1*1*xyNyNxNBKBKBKATxyyxEEE}/,/,/{}{0因为测量都是两点相对位移，绝对位移与相对位移之间转化关系：22111212][}{vuvuTvvuuMMT}{][}{cossincossinsincossincos][T[T]为转换矩阵：}{][}{0*AM则：][][][*ATA其中上式中待求量为3个，若量测值刚好为3个，则可从上式中求出唯一的}{0}{0MA}{][}{*10M}{MTTAAA}{][][][}ˆ{*1**0若量测值多于3个，则通过最小二乘法求得，构造以下目标函数}{0M}{)}{}{]([)}{}{]([})({**MTMAAF000令022000MTTAAAF}{][}{][][}{})({***MTMTMTTAAA}{)}({}{][)}({}{][][}{***0002得的最小二乘估计为：}{05.3.2实例根据围岩内部位移求得：T}0003.0,0609.0,0489.0{}ˆ{0根据围岩收敛变形求得：T}0001.0,0587.0,0490.0{}ˆ{0隧道埋深400m，可求得：Mpa8.94000245.0Hy则：160.9Mpa0.06099.80yyEMpa87.70xxEMpa048.00xyxyE5.4粘弹性位移反分析5.4.1反分析基本公式ttve实际测试的位移是一组随时间变化的值，是由于释放荷载随时间的改变及围岩的蠕变造成，采用粘弹性反分析可以很好反映时间因素。任意时刻t的应变可以看做由瞬时弹性应变和蠕变应变两部分构成：其中弹性应变：][100CEe粘弹性应变：tCtEtv][10则：tCtEEtEEtCtEEtEEtCtECEttve][][][1][1000000000tDtEEtCtEEtEEt][/11][01000得：其中：为弹性矩阵][][100DCE任意时刻t的有限元平衡方程：0][tPdtBT将代入上述平衡方程：t