第3讲消费者理论(2)

1第3讲消费者理论Ⅱ2显示偏好和替代效应•显示偏好理论由保罗·萨缪而森在1940s末期提出•这个理论利用观察到的行为定义了理性的原理，并用这个原理近似效用函数3显示偏好和替代效应•考虑两个商品束:A和B•如果消费者能够负担这两个商品束，但是选择了A,我们说A显示偏好于B•在任何一个价格收入条件下,B不能显示偏好于A4显示偏好和替代效应x的数量y的数量AI1假定,当预算约束为I1,选择ABI3当收入是I3的时候，A还应该偏好于B，(因为A和B都是可以负担的)I2如果选择B,预算约束一定类似于I2，此时无法负担A5替代效应为负•假定消费者在两个商品束之间无差异:C和D•令pxC,pyC为选择消费束C时候的商品价格•令pxD,pyD为选择消费束D时候的商品价格6替代效应为负•因为消费者在C和D之间无差异–当选择C的时候,D的花费至少和C一样多pxCxC+pyCyC≤pxCxD+pyCyD–当选择D的时候,C的花费至少和D一样多pxDxD+pyDyD≤pxDxC+pyDyC7替代效应为负•移项,得到pxC(xC-xD)+pyC(yC-yD)≤0pxD(xD-xC)+pyD(yD-yC)≤0•两式相加(pxC–pxD)(xC-xD)+(pyC–pyD)(yC-yD)≤08替代效应为负•假定仅仅有商品x的价格变化(pyC=pyD)(pxC–pxD)(xC-xD)≤0•这意味着当效用水平不变的时候价格和数量运动方向相反–替代效应为负9数学推广•如果,在价格pi0选择商品束xi0而不是xi1(此时，可以负担xi1),那么niniiiiixpxp111000•消费束0“显示偏好”于消费束110数学推广•因此,在消费者选择消费束1的价格(pi1),有niniiiiixpxp111101•消费束0一定贵于消费束111显示偏好强公理•如果商品束0显示偏好于商品束1,并且如果商品束1显示偏好于商品束2,并且商品束2显示偏好于商品束3,…,并且如果商品束K-1显示偏好于商品束K,那么商品束K不能显示偏好于商品束0不确定性和风险规避概率•一个重复事件发生的概率是其出现的相对频率–投掷一枚均匀硬币，获得头像一面的概率是0.5•如果一个彩票提供n个不同的奖金，获得奖金的概率是i(i=1,n)，那么nii11期望值•彩票(X)的奖金是x1,x2,…,xn，获奖概率是1,2,…n,这个彩票的期望值是niiixXE1)(nnxxxXE...)(2211•期望值是结果的加权和–权重是概率期望值•假定史密斯和琼斯决定掷硬币–头像(x1)琼斯给史密斯￥1–文字(x2)史密斯支付给琼斯￥1•从史密斯的角度看,2211)(xxXE11()(1)(1)022EX￥￥期望值•具有零期望值(或者参与这个博弈需要花费博弈的期望值)的博弈称为事实的公平博弈–但是可以观察到人们经常拒绝参与这种事实上的公平博弈公平博弈•人们通常不愿意参与公平博弈•存在一些例外–赌注很小–参与博弈这个行为就可以获得效用•我们假定不存在这种情况圣彼得堡悖论•投掷一枚硬币，直到出现头像一面•如果在第n次投掷中出现头像,参与人获得￥2nx1=￥2,x2=￥4,x3=￥8,…,xn=￥2n•在第I次投掷中获得头像的概率是(½)i1=½,2=¼,…,n=1/2n圣彼得堡悖论•圣彼得堡悖论中博弈的期望值为无穷iiiiiixXE11212)(1111...)(XE•因为没有参与人愿意为这个博弈支付很多,它不值其期望值期望效用•参与人不在意奖金的绝对数量–他们在意奖金的效用•如果我们假设财富的边际效用递减,圣彼得堡悖论博弈将会收敛到有限的期望效用值–这测量了这个博弈对于参与人的价值期望效用•期望效用可以利用与期望值相似的方法计算)()(1niiixUXE•因为效用比奖金的绝对数量上升得慢,期望效用有可能小于期望值冯·诺伊曼－摩根斯坦定理•假定存在n种奖金，按照升序，参与人获得奖金的概率为(x1,…xn)–x1=最不喜欢的奖金U(x1)=0–xn=最喜欢的奖金U(xn)=1冯·诺伊曼－摩根斯坦定理•冯·诺伊曼－摩根斯坦定理说明存在合理的方式为每一个奖金指定一个特定的效用值冯·诺伊曼－摩根斯坦定理•冯·诺伊曼－摩根斯坦方法将xi的效用值定义为参与人认为与xi无差异的赌博的期望效用U(xi)=i·U(xn)+(1-i)·U(x1)冯·诺伊曼－摩根斯坦定理•因为U(xn)=1，U(x1)=0U(xi)=i·1+(1-i)·0=i•任何一个其他奖金的效用值为赢得其的概率•注意这种效用数字的选择是任意的期望效用最大化•理性参与人利用期望效用选择赌博(冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数的期望值)期望效用最大化•考虑两个赌博:–第一个以概率q获得x2，概率(1-q)获得x3期望效用(1)=q·U(x2)+(1-q)·U(x3)–第二个以概率t获得x5，概率(1-t)获得x6期望效用(2)=t·U(x5)+(1-t)·U(x6)期望效用最大化•带入效用指数期望效用(1)=q·2+(1-q)·3期望效用(2)=t·5+(1-t)·6•相对于2参与人偏好1，当且仅当q·2+(1-q)·3t·5+(1-t)·6期望效用最大化•在不确定的环境中，如果参与人的行为遵守冯·诺伊曼－摩根斯坦公理,他们的行为看起来仿佛是选择可以获得最大的冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数期望值的彩票风险规避•两个彩票可能有相同的期望值，但是风险是不同的–掷硬币，奖金是￥1对￥1,000•风险指的是某个不确定行为结果的可变性•当两个赌博具有相同的期望值时,参与人会选择风险小的风险规避•一般来说,我们假定财富的边际效用递减–掷硬币，奖金为￥1,000，那么获胜时候效用增量较小，损失时候效用增量较大–掷硬币，奖金为￥1，那么获胜时候效用增量与损失时候效用增量相差不大风险规避效用(U)财富(W)U(W)U(W)是冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数，反映了参与人对于财富价值的个人评判这个曲线是凹的，表示财富的边际效用递减风险规避效用(U)财富(W)U(W)假定W*是参与人当前收入水平W*U(W*)是参与人当前效用水平U(W*)风险规避•假定参与人面对两个公平赌博:–50-50的机会赢得或损失￥hUh(W*)=½U(W*+h)+½U(W*-h)–50-50的机会赢得或损失￥2hU2h(W*)=½U(W*+2h)+½U(W*-2h)风险规避效用(U)财富(W)U(W)W*U(W*)赌博1的期望效用是Uh(W*)Uh(W*)W*+hW*-h风险规避效用(U)财富(W)U(W)W*U(W*)W*+2hW*-2h赌博2的期望效用是U2h(W*)U2h(W*)风险规避效用(U)财富(W)U(W)W*U(W*)W*+2hW*-2hU(W*)Uh(W*)U2h(W*)U2h(W*)Uh(W*)W*-hW*+h风险规避•相对于附加上公平博弈的现有财富，参与人偏好于现有财富•参与人偏好小的赌博风险规避和保险•参与人可能希望付一些钱避免参与赌博•这解释了为什么一些参与人购买保险风险规避和保险效用(U)财富(W)U(W)W*U(W*)Uh(W*)W*-hW*+h参与人最多愿意支付W*-W”避免参加赌博W”与参加赌博1效用相同W”风险规避和保险•总是拒绝公平赌博的参与人是风险规避–体现了收入的边际效用递减–愿意为避免参加公平赌博支付对保险的支付意愿•考虑一个人，当前财富是￥100,000，有25%的可能性损失￥20,000•假定参与人冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数为U(W)=ln(W)对保险的支付意愿•参与人的期望效用E(U)=0.75U(100,000)+0.25U(80,000)E(U)=0.75ln(100,000)+0.25ln(80,000)E(U)=11.45714•此时,公平的保费是￥5,000(￥20,000的25%)对保险的支付意愿•参与人愿意￥5,000以上避免参加赌博。他愿意支付多少?E(U)=U(100,000-x)=ln(100,000-x)=11.45714100,000-x=e11.45714x=5,426•最大保费是￥5,426风险规避的测量•最常用的测量风险规避的方法由Pratt提出)(')()(WUWUWr•对于风险规避的参与人,U”(W)0–对于风险规避的参与人，r(W)为正–r(W)不受到冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数的影响风险规避的测量•风险规避的Pratt测量与参与人为了避免参加公平赌博所愿意支付的量成正比风险规避的测量•令h表示公平赌博获胜奖金E(h)=0•令p表示参与人愿意支付的最大保费E[U(W+h)]=U(W-p)风险规避的测量•我们将两边泰勒展开•因为p是一个固定量,我们可以对右面线性近似U(W-p)=U(W)-pU’(W)+高阶项风险规避的测量•对左边,我们展开二次项，从而可以考虑赌博(h)的波动E[U(W+h)]=E[U(W)-hU’(W)+h2/2U”(W)+高阶项E[U(W+h)]=U(W)-E(h)U’(W)+E(h2)/2U”(W)+高阶项)()()(')(WkUWUWpUWU)()(')(WkrWUWkUp风险规避的测量•E(h)=0,丢掉高阶项,将E(h2)/2替换为k风险规避和财富•随着财富增加，风险规避不一定下降–边际效用递减使得财富更多的参与人认为潜在损失不严重–不过,边际效用递减也使得获胜奖吸引力变小•净结果依赖于效用函数的形状风险规避和财富•如果效用函数对于财富是二次的U(W)=a+bW+cW2其中b0，c0•Pratt风险规避系数cWbcWUWUWr22)()()(•随着财富增加，风险规避增加风险规避和财富•如果效用是对数形式U(W)=ln(W)其中W0•Pratt风险规避系数WWUWUWr1)()()(•随着财富增加，风险规避下降风险规避和财富•如果效用是指数U(W)=-e-AW=-exp(-AW)其中A是正常数•Pratt风险规避系数AAeeAWUWUWrAWAW2)()()(•随着财富增加，风险规避是常数相对风险规避•避免参加一个赌博的支付意愿独立于财富看起来不太合理•一个更加吸引人的假设是支付意愿和财富成反比相对风险规避•相对风险规避公式)(')()()(WUWU相对风险规避•幂函数U(W)=WR/R对于R1,0展示了递减的绝对风险规避WRWWRWUWUWrRR)1()1()(')()(12相对风险规避为常数RRWWrWrr1)1()()(依状态偏好方法•到目前为止考虑的方法与其他章的方法不同–没有利用基本的预算约束条件下效用最大化模型•需要开发新的技术合并进标准的选择理论框架中世界状态•任何一个随机事件的结果可以概括进一系列世界状态–“好日子”或者“坏日子”•或有商品是一些特殊商品，仅仅在一个特定世界状态发生的时候体现–“好日子的￥1”或者“坏日子的￥1”世界状态•参与人可以购买或有商品–购买一个承诺，某人会在明天是好日子的情况下支付给你￥1–这个商品很可能不能卖到￥1效用分析•假定有两种或有商品–好日子的财富(Wg)和坏日子的财富(Wb)–参与人相信好日子发生的概率为效用分析•这两个商品的期望效用是V(Wg,Wb)=U(Wg)+(1-)U(Wb)•这是给定初始财富的时候(W)，参与人希望最大化的或有商品价格•假设参与人用价格pg购买好日子时候价值￥1的财富，坏日子财富价格为pb•预算约束是W=pgWg+pbWb•价格比率pg/pb表示了这个人如何在好日子财富和坏日子财富之间替代或有商品的公平市场•如果或有财富要求权的市场完备，对于有共识,这些商品的价格是事实上公平价格pg=和pb=(1-)•价格比率反映了好日子的可能性1bgpp风险规避•如果或有要求权市场是公平的,效用最大化的参与人选择Wg=Wb–他的安排使得无论在什么时候