第7章北大高微讲义不确定条件下的消费者选择

1第1部分消费者行为理论•第1章消费者的最优决策•第2章比较静态分析•第3章显示偏好理论•第4章需求•第5章消费者的福利变化•第6章库恩---塔克条件•第7章不确定条件下的个人选择2第7章不确定条件下的个人选择•7.1期望效用理论•7.2风险态度37.1期望效用理论一、不确定条件下的选择对象和彩票1、几个基本概念（1）选择或行动集合（2）（自然）状态集合状态集合的特征：·穷尽所有可能的状态·状态不受行动者的控制，是随机发生的·集合中各个元素之间均为互相排斥的事件（即状态）·状态集合可以是连续的，也可以是离散的iaA∈isS∈47.1期望效用理论1、几个基本概念（3）结果函数其中，X为所有可能结果的集合（4）随机状态的概率分布0,1()0,()1jjssSSPPPsPsds≥=≥=∑∫状态集合离散时：有概率状态集合连续时：有概率密度函数(,)ijxasxX∈且57.1期望效用理论2、分布和分布集合令：某一个行动面临n种状态对应n种概率对应n种结果由此定义：对于一个行动，有且有于是，在不确定的条件下，有12,,nsss⋅⋅⋅⋅⋅11(;)(,)innpppxxpx==LLLL为一个分布(prospect)。()(,)uaupx⇒12,,nppp⋅⋅⋅⋅⋅12,,nxxx⋅⋅⋅⋅⋅iaipP∈ia67.1期望效用理论3、彩票的表达方式（1）一般表达方式(1)(;,)pxpyorLpxy⊕-=oo77.1期望效用理论（2）复合彩票复合彩票：即彩票的奖励（即结果）仍是彩票。例如，某消费者面临一张彩票：以1/2的概率获得彩票A,以1/2的概率获得彩票B。其中，彩票A：以1/4的概率得到，以3/4的概率得到；彩票B：以1/2的概率得到，以1/2的概率得到。1x2x2x1x87.1期望效用理论则记为：整理得：以净概率表示1212113111()()244222xxxx⊕⊕⊕oooooo123588xx⊕oo97.1期望效用理论二、彩票空间（L）上的偏好公理1、假设•假设1•假设2•假设31(11)1⊕-oooxyx~(1)(1)⊕--⊕oooopxpypypx~((1))(1)()(1)⊕-⊕-⊕-oooooqpxpyqyqpxqpy~)p%(107.1期望效用理论2、公理•公理1：完备性•公理2：反身性•公理3：传递性,,,ijijjiLLLLLL∈Lff%%对于任意两张彩票消费者的偏好序必定是，或者或者两者同时成立。,iiiLLL∈Lf%对于任意的一张彩票消费者必有。,,,,,ijkijjkikLLLLLLLLL∈Lfff%%%对于任意的三张彩票若消费者偏好是则必有。117.1期望效用理论•公理4连续性•公理5独立性,1(1-)bwxwxbpxpbpw≤≤~⊕pp%%oo令为最好的结果，为最坏的结果，为给定的任意一个结果，且则一定存在一个唯一的概率0,使得,(1)(1),(1)(1)⊕-⊕-⊕-⊕-oooofoofooxypxpzpypzxypxpzpypz如果则。如果则。~~127.1期望效用理论•公理6单调性或不等概率公理三、冯•纽曼－摩根斯坦期望效用函数定理（vonNeumann--Morgenstein）简称:vNM期望效用函数定理,(1-)(1-)pqpbpwqbqw⊕⊕oofoo如果概率则有。137.1期望效用理论三、冯•纽曼－摩根斯坦期望效用函数定理•定理假定满足以上的公理，则存在一个定义在上的效用函数，满足期望效用的性质，即有在多种结果的条件下，则有,)Lp%(L[]1,2,1211221;,,()()()()()=⋅+⋅++⋅=⋅=∑LLLnnnnniiiUpppxxxpuxpuxpuxpuxEux()=(1)()(1)()⊕-⋅+-⋅ooUpxpypuxpuy()=147.1期望效用理论三、冯•纽曼－摩根斯坦期望效用函数定理•证明：第一步建立一种表达结构令u(b)=1,u(w)=0,则可将任意一张彩票Ｚ的效用函数规定为：在此，需检验的存在性和唯一性。检验一：的存在性根据连续性的假定，对应任何给的的结果Z,总存在一个概率，使得（1）成立。()(),1(1)=⊕-oozzzuzppbpwz且满足:~zpzpzp157.1期望效用理论三、冯•纽曼－摩根斯坦期望效用函数定理•证明：第一步建立一种表达结构检验二：的唯一性反证法：zp()()'''',,11zzzzzzzzzzpppppppppp⇒⇒若不唯一令和是两个不同的数且都满足。由于或者因此，根据不等概率公理，和不可能都满足。矛盾。唯一。167.1期望效用理论三、冯•纽曼－摩根斯坦期望效用函数定理•证明：第二步(),(1)(2)(),(1)(3)(1)(1)((1))(1)((1))((1))(1(1))(()(1)(=⊕-=⊕-⊕-⊕-⊕-⊕-⊕-⋅+-⊕-⋅--⋅+-ooooooooooooooxxxyyyxxyyxyxyuxppbpwxuyppbpwypxpypxpyppbpwppbpwppppbppppwpuxpu根据以上表达结构，令且满足且满足于是,根据（2）(3），可将彩票表达为：~~~~~))(1()(1)())((1))()(1)()⊕-⋅--⊕-=⋅+-⋅ooooybpuxpuywupxpypuxpuy根据表达结构，有177.1期望效用理论三、冯•纽曼－摩根斯坦期望效用函数定理•证明：第三步,,(),(1)(),(1)()()∈=⊕-=⊕-foooofxxxyyyxyxyLxyuxppbpwxuyppbpwyxyppuxuy令任意两张彩票且则由已有的表达结构，可以有满足满足因为，所以，根据不等概率公理,必有于是有~~187.1期望效用理论四、vNM期望效用函数的单调变换1、vNM期望效用函数的单调变换：–Key:线性变换及偏好序的保持197.1期望效用理论1、vNM期望效用函数的单调变换：（1）不能随意进行单调变换，因为可能会改变偏好序。例：11223412341121223434:(0.5,,),(0.4,,):()25,()64,()36,()49:((1))0.5()0.5()0.5250.56444.5:((1))0.4()0.6()======⊕-=+=×+×=⊕-=+ooLxxLxxuxuxuxuxLupxpxuxuxLupxpxuxux令其中1210.50.50.5112120.50.52332440.4360.64943.8,::((1))0.5()0.5()6.5:((1))0.4()0.6()6.6=×+×=⇒=⊕-=+=⊕-=+=⇒ofpovuLvpxpxuxuxLvpxpxuxuxLLLL令“单调变换”则有显然，偏好序发生改变。207.1期望效用理论（2）证明：对vNM期望效用函数进行线性单调变换，则偏好序不变。1111222212111111112222222211111111:(,,),(,,),:((1))()(1)()((1))()(1)()()(),0:((1))((1))==⊕-=⋅+-⋅⊕-=⋅+-⋅⋅=⋅+⊕-=⊕-+fooooLpxyLpxyLLupxpypuxpuyupxpypuxpuyvaubavpxpyaupxpyb令且即若进行线性变换有111111112222222222222(())(1)(())(()(1)())((1))((1))(())(1)(())(=++-+=+-+⊕-=⊕-+=++-+=oopauxbpauybapuxpuybvpxpyaupxpybpauxbpauybap2221111222212()(1)())((1))((1))+-+⇒⊕-⊕-⇒oofuxpuybvpxpyvpxpyLL偏好序不发生改变217.1期望效用理论2、关于vNM期望效用函数的线性变换（或仿射变换）•命题1一个期望效用函数的任意仿射变换仍然为一个期望效用函数。其中，仿射变换为：v(•)=au(•)+ba0证明：()()((1))((1))(())(1)(())()(1)()⋅=⋅+⊕-=⊕-+=++-+=+-oooovaubvpxpyaupxpybpauxbpauybpvxpvy令则有:222、关于vNM期望效用函数的线性变换•关于命题1的逆命题－－命题2如果对一个效用函数进行单调变换后保持了期望效用函数的特征，那么，所进行的单调变化一定是一个仿射变换。附：有关仿射函数的一个数学定理()1((1))()(1)()()⋅≤≤+-=⋅+-⋅⋅fpfpupvpfupfvf如果一个函数对于所有的0满足，当且仅当是一个仿射函数。7.1期望效用理论237.1期望效用理论2、关于vNM期望效用函数的线性变换•证明命题2:(((1)))(())(1)(())(()(1)())(())(1)(())()()()++→⊕-⋅+-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅⋅oofRRfupxpypfuxpfuyfpuxpuypfuxpfuyffu令：是保持期望效用特征的一个单调变换,即=亦即=所以，根据前面的数学定理，是一个仿射函数，即对的保持期望效用特征的单调变换一定是一个仿射变换。247.1期望效用理论2、关于vNM期望效用函数的线性变换•由命题1和命题2，即有命题3－－命题3对于一个仿射变换而言，期望效用函数是唯一的。257.1期望效用理论最后，扩展到一般的情况－－[][]11()()1()()()()1nniiiiXXEuXpuxpEuXuxpxdxpxdx====∑∑∫∫在离散的情况下，彩票的期望效用为其中＝在连续的情况下，彩票的期望效用为其中＝26第7章不确定条件下的个人选择•7.1期望效用理论•7.2风险态度277.2风险态度一、消费者风险态度的判断令彩票L:1、判断方法一：利用彩票的期望值效用和期望效用12(1)pwpw⊕-oo1212((1))()(1)(),(())(())()()upwpwpuwpuwuEwEuwriskaverseriskneutralriskloving+-=+-=若即消费者为风险回避者。（）则消费者为风险中立者。消费者为风险爱好者。wu(wu(w)u(Ew)Eu(w)~w1w2C-ww287.2风险态度1212((1))()(1)(),(())(()),upwpwpuwpuwuEwEuw+-+-若即则消费者为风险回避者。wu(w)u(w)u(Ew)Eu(w)~w1w2C-ww297.2风险态度2、判断方法二：利用“确定性等价”的概念•一张彩票的确定性等价是指某个确定的收入水平•判断条件令期望收入为，确定性等价为,()(())wuwEuw=使得。www则消费者为风险回避者。如果＝，则消费者为风险中立者。则消费者为风险爱好者。,wwu(w)u(w)u(Ew)Eu(w)w1w2Cww307.2风险态度3、判断方法三：利用“风险溢价”的概念•令C为风险溢价，则其定义为•判断条件Cww=-则消费者为风险回避者。如果风险溢价＝0,则消费者为风险中立者。则消费者为风险爱好者。()()-==-uwCEuwCww即wu(w)u(w)u(Ew)Eu(w)w1w2C-ww317.2风险态度二、阿罗－普拉德（Arrow-Pratt）风险回避系数1、阿罗－普拉德绝对风险回避系数(1)公式及其证明•公式•直观理解''()'()uwuwr=-A327.2风险态度1、阿罗－普拉德绝对风险回避系数证明:令:表示一个赌博，概率为p和1-p;初始财富为w12(,)xx{}1212'''()()(,):()(1)()()()0()()AwwAwxxpuwxpuwxuwAwwAAAwBBAwBB=++-+≥且定义为初始财富为的消费者可以接受的全部的赌博结果的集合。即集合越大，表示越敢于接受各种赌博结果，即越不怕风险。图中：0点表示未进入赌博的初始财富和点无差异的赌博结果组合点一定在二和四象限对应的大于对应的对应着更怕风险BB’A’Ax2x10，w331、阿罗－普拉德绝对风险回避系数证明:2112'''12'21'''''2'''22():()()(1)()()(0,0),:(0)(1