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主要内容主要内容§4.1排队论基础§4.2业务模型与分析§4.3提高网络效率的一些措施§4.4多址接入系统第四章第四章通信网内业务分析通信网内业务分析§4.2通信网的业务模型与分析通信网中的信息流总是随机的；当公用一些网资源如信道等，必然会出现排队现象。因此，本节讨论的内容实际上是排队论在通信网中的应用。通信网所用的术语和分析方法，往往与排队理论中所用的不同。本节先给出通信网的各种测度和指标的定义，然后再结合具体问题来讨论其模型及其分析。1.业务量（话务量）定义：在指定时间内，某条线路被占用的总时间。例：若某线路有m条信道，第r条信道被占用Qr秒，则该线路上(m条信道)的业务量（话务量）为：§4.2.1各种测度和指标业务量的另一种表达形式为：其中，T是观察时间，R(t)是在时刻t被占用的信道数，是一个随机变量，Q是R(t)在t到t+T内的累计值，也是一个随机变量，并且是起始时刻t和观察时间T的函数。量纲：业务量的量纲是时间，若一个信道代表一个电话话路，则业务量（话务量）的单位是：秒·话路，分钟·话路，小时·话路，天·话路。2.业务强度业务强度也称话务量强度或呼叫量。定义为线路占用时间与观察时间之比。业务强度无量纲，单位是Erlang（爱尔朗）。一些结果：具有m条信道的线路中，实际能承载的业务强度不大于m，若用户发出的实际业务强度超过此限制，则肯定有些呼叫被拒绝。实际上，即使业务强度小于m，有时也可能有呼叫被拒绝。3.与排队论中参数的对应关系(1)信道数m相当于服务窗口数;(2)单位时间内平均呼叫数相当于顾客到达率λ;(3)每次呼叫占用线路的平均时间相当于平均服务时间1/μ。所以业务量强度：(4)当业务量强度a≥m时，相当于此时不拒绝系统将是不稳定的，对于拒绝系统，当然还是稳定的，只是有拒绝现象而已。tatλλρμ===1mλρμ=≥纯随机呼叫(1)用户数为无限多；(2)用户间相互独立；(3)若每个用户的呼叫率为λ0，而且趋于零，则总呼叫率为：λ=limN→∞Nλ0。N为用户数，此时，Δt内出现一个呼叫的概率为：λ⋅Δt。准随机呼叫实际的通信网中，不存在严格的纯随机呼叫，因为用户数总是有限的。设用户数N为有限值，用户间相互独立，λ0为单位时间内每个用户平均呼叫次数，r为已被接受服务的用户数，则呼叫到达率为(N-r)٠λ0，此时在Δt内到达一个呼叫的概率为(N-r)٠λ0٠Δt，当N较大时，准随机呼叫可近似地作为纯随机呼叫处理，N愈大，这种近似愈合理。阻塞率和呼损阻塞率有两种定义，即时间阻塞率和呼叫阻塞率。时间阻塞率：总观察时间内，阻塞时间所占的百分比：时间阻塞率pn就是排队论中截止队长为n时的拒绝概率。呼叫阻塞率（呼损）：被拒绝的呼叫次数占总呼叫次数的百分比。呼损与转接次数的关系转接次数越多，呼损越高。设网内的源宿端间，某有向径上有r条边，各边上的呼损为pci(i=1,2,…,r)，则该径上源宿端间的呼损为：t11(1)rcciipp==−−∏时延时延是通信网中的另一重要指标，它是指消息进入通信网后，直到利用完网络资源所需的时间，包括等待时间、服务时间、传输时间。不同的业务对时延的要求不同。通过量和信道利用率在所有的呼叫中，有一部分是被拒绝的，另一部分是实际通过网络的。通过量：单位时间内通过网络的业务量称为通过量。即Tr=a(1-pc)(爱尔朗)，a为业务量强度，即μ/λ，pc为呼损。有时也用单位时间内通过网络的呼叫次数作为通过量。信道利用率（η）：若线路的容量为Cr，则η=Tr/Cr。举例：若某条线路可通m路电话，其容量可定为m，则信道利用率相当于排队模型中的窗口占用率或系统效率，即η=Q(1-pn)/m，M/M/m全网通过量和全网效率若通信网中有M条边，相当于M条线路。全网通过量是从各端(n端)进入网内，且能到达宿端的业务量。即：其中ar是从第r端进入网络的业务量强度；pc是这些业务量强度在网中被阻塞的百分比1(1)nrcrTap==−∑全网效率各线路的通过量Tr之和与各线路的容量Cr之和的比值。即11/MMrrrTCrη===∑∑§§4.2.24.2.2业务分析举例业务分析举例用排队论分析通信网中各端的业务问题的步骤：第一步：先确定模型常用的模型有：M/M/m(n)，M/D/1，M/Er/1。第二步：定义状态变量常用的状态变量有：队列长度，占用线数。通信网中的业务分析一般只限于稳态。第三步：列出状态方程对于M/M问题，可先画出状态转移图，列出稳态方程，进入某状态的概率=离开该状态的概率。第四步：求解状态方程计算所需的目标参量，并计算网络的质量指标和性能指标。例1：有限用户即时拒绝系统的分析假设某交换站有N个用户，每个用户的呼叫率为λ0，有m条中继线，用户占线时间服从均值为1/μ的负指数分布，截止队长n=m，若用户之间相互独立，则总呼叫率为Nλ0。01mrrp==∑相当于M/M/m(m,N)排队系统，选用占线数k作为状态变量。状态转移图如下：根据状态转移图列出系统方程:要解此方程组，利用归一条件：例2主备线即时拒绝系统在交换站有两种输出线，A是主用线，B是备用线，当A线被占用时，再有呼叫到来就占用B线来传输。到达率服从均值为λ的指数分布，服务率服从均值为μ的指数分布。选择状态变量此处，一个状态变量已不能表达系统的状态。令二维矢量(x，y)为系统状态，x：表示主用线A的状态，y：表示备用线B的状态，0表示空闲，1表示占线，状态集为{00,01,10,11}系统的状态转移图为:稳态的状态方程:求解方程组，得:其中，P10为主用线A的阻塞概率；P01为备用线B的阻塞概率；P11为系统的阻塞概率，也就是呼损，ρ=λ/μ。系统的线路利用率为：若系统中的A线和B线不分主备，则成为标准的M/M/2(2)问题。M/M/2(2)中的p0对应于该系统中的p00，p1等于p01+p10，p2等于p11，即呼损。线路利用率与本系统一致，可见在本例的条件下，若不分主备，系统的性能并无变化，但是，若备用线可以另作它用，则情况就不同了。例3公用备线即时拒绝系统两个业务流分别送到系统的A和B两个处理单元，两个输入可认为是两组独立用户，也可以认为是两种不同性质的业务。系统有三个输出，A线和B线为各自的专用线，C线为共用的备用线，可接受A、B两种业务，当专用线忙时，都可使用C线。假设指数分布的情况，两个到达率分别为λ1和λ2，三线的服务率均为μ，这是一种三窗口的排队系统，但不是标准的，无法使用前面的公式。选择状态变量:取x,y,z作为系统的状态变量,分别表示A、B、C三线的忙闲，以1代表占用，以0代表空闲。对于即时拒绝系统，状态矢量集为：{000,001,010,011,100,101,110,111}。状态转移图如下：稳态的状态方程：求解方程组：为简化起见令λ1=λ2=λ，ρ=λ/μ，可解得：A端用户的呼损：pCA=p101+p111，B端用户的呼损：pCB=p011+p111。代入上述关系式可得：线路利用率为：公用备线系统与自用备线系统的比较即本例的公用备线系统（三线系统）代替前例两个自用备线系统的情况。信道利用率的比较：两个自用备线系统将配备四条信道，而本例的公用备线系统仅配备三条信道。所以，信道利用率必然会提高。η自备=40%，η公备=48.5%。呼损的比较：令ρ=1，自用备线系统的呼损p11=0.2，公用备线系统的呼损pC=0.26，可见，呼损有所增加，可看成是节省一条备用线的代价。若ρ1则可得近似式：此时二者的差别不大。以上分析表明：在业务量不太大的情况下，采用公用备线系统是很合算的，但在业务量较大时，采用这种方式就要考虑呼损指标。例4优先制排队系统前面三例都是即时拒绝系统，以下考虑允许排队等待的优先制服务方式。系统描述：有n个业务流共用一条输出线路，事先规定各自的优先级，优先级昀高的队，只要线路有空即可占用。优先级较低的队，必须在优先级高的队无呼叫等待时，且线路有空的情况下，才能占用线路。优先级高的呼叫，甚至可以强行中断正在占用线路的优先级低的业务流，这称为强拆。半自动接续的电话网就曾采用这种机制。以两队输入，一条输出线的情况为例，A队有优先权，B队只能在A队无呼叫等待时，才能占用输出线，但占用后不因A队有呼叫到达而被强拆，A、B两队的呼叫到达率分别为λ1和λ2，服务率为μ。选择状态变量：系统的状态取决于线路的忙闲，以及A、B两队待处理的呼叫数。令t为线路状态：t=1表示占用，t=0表示空闲。令r与s分别表示A、B两队中等待的呼叫数，r和s中不包括正在传输的呼叫，nr和ns分别为两队的截止队长，当t=0时，r与s必然也是零，这是系统空闲状态，称之为0状态，当t=1时，需用一个二维矢量(r、s)来代表系统状态。状态转移图:优先制在状态转移图中体现为：在r0时，(r,s+1)状态不能转移到(r,s)状态，因为一旦线路空闲，A队将占用，状态将转移至(r-1,s+1)状态。状态(t,r,s)=(1,0,0)意味着有一个呼叫正在占用线路，此呼叫可以来自A队，也可以来自B队，此时，A、B两队均无呼叫在排队。稳态下的系统状态方程：在以上方程中，当r或s出现负值时，令prs=0，这些方程构成一个二维的差分方程，求通解相当困难。教材上，求解了一个特例。设A队为不拒绝型的，即nr=∞，而B队为即时拒绝的，即ns=0，亦即s≡0，这样状态转移图就只剩下0状态和昀左一列。此系统相当于M/M/1+0状态。若B队不存在，则此系统成为标准的M/M/1系统。加上B队，即使利用优先制，A队的平均等待时间也会有所增加，但信道的利用率也有所提高。但信道利用率的提高是以优先队的等待时间增大为代价的。例5两次排队问题假设输入信息流为泊松流，到达率为λ包/秒，每包的平均比特数为a，且信息包服从指数分布，队列A和B不限制队长，即构成不拒绝系统。信息包首先送入队列A，再由容量为C1bit/s的信道送到队列B，昀后有容量为C2bit/s的信道送出系统。信道C1的服务率μ1=C1/a(包/秒)，信道C2的服务率μ2=C2/a(包/秒)。选择状态变量：设r和s分别为队列A和B的队列长度(包括正在传送的信息包)，选择(r，s)为状态变量。状态转移图：稳态下系统状态方程：利用归一条件可求出p00=(1−ρ1)(1−ρ2)。其中ρ1=λ/μ1ρ2=λ/μ1，prs=(1−ρ1)(1−ρ2)ρ1rρ2s。从这个解可以看出：r和s是两个相互独立的随机变量，也就是说在此系统中，两个排队过程是相互独立的。系统的性能指标：信息包在系统中的总时间：(或者说平均时延)信道利用率：信道C1的利用率η1=ρ1；信道C2的利用率η2=ρ2；总的信道利用率:η=(ρ1+ρ2)/2。可见，只有ρ11且ρ21时，系统才能稳定工作。从本例可以得到一个重要结论：对于M/M排队系统，其输出过程，即顾客离去的规律仍是一个以输入到达率λ为平均值的泊松流。输出定理：M/M/m不拒绝排队系统的输出过程与输入过程相互独立，并具有同样的分布，都是以λ为均值的泊松流。这个定理在信息转接的计算中应用很广，它使多次排队系统简化为各自独立的排队问题，并从各分系统的性能来计算总性能。若各排队系统有截止队长等限制时，输出过程就不具有此性质了，需要像前面那样去求联合概率prs，并且r和s也不会相互独立。对于非M/M/m系统，如M/D/1等系统，也不具备此性质，所以限制了输出定理的使用范围。对于多次排队系统，一旦有一个子系统不是M/M/m类型的，则此子系统之前的各排队过程仍然是相互独立的，但在它以后就不成立了。§4.3提高网络效率的一些措施本节将在上述网络的业务模型及其分析的基础上，进一步讨论如何提高信道利用率和降低呼损方面的一些措施，达到有效地保证通信质量和充分地利用网络资源的目的。主要以大群化效应、延迟效应、综合效应和迂回效应的讨论为主。4.3.14.3.1大群化效应大群化效应普遍而言，社会服务资源在一定范围内的统一利用总是要优于分散经营的，通信网中的各种公共资源，如信道，也有类似的规律，即在同样的质量指标下，信道的统一分配与分散利