计算方法作业

1.（1）经过四舍五入得出115.80,1025.621xx。试问它们分别有几位有效数字？（2）求21212121,,,xxxxxxxx的绝对误差。解：（1）1x有5位有效数字，2x有5位有效数字。（2）.1080115.0115.80，106125.01025.62211xx2212211211221121321213212135224511101083568111.0)(）（)(1040352625.0)(）（)(1055.0)()()(1055.0)()()(105.0105.0)(,105.0105.0)(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2.对向量nxxxx21定义：.,max,122111nkkknknkkxxxxxx设A是n*n的矩阵，规定.max,max,max212111121AxAAxAAxAxxx证明：（1），)列范数(max111nkkjnjaA（2），)行范数(max11nkjknjaA（3）2A，其中是AAT的最大特征值。解：先证明（2），对任意,1,xRxn有nkkjknjxaAx11maxnknkjknjjknjkjknjaxaxa11111maxmaxmax，所以有：nkjknjxaAxA111①maxmax又设nkkpknknkpkpkkpkjknjxaxaaxaa1111且有.1则,0,10,1取,maxnkpka1，nkjknjnkpknkkpknkkjknjaaxaxaxA111111maxmax所以，所以②maxmax111nkjknjxaAxA由①式和②式可知：nkjknjaA11max同理可证：nkkjnjaA111max（1）（2）均得证。（3）221222maxAxAx，由于A是n*n的矩阵，x是n*1的矩阵，由线性代数的知识可知：求221222maxAxAx，即求1在)()(xxxAAxxfTTT的条件下的极值。进而只需求矩阵AAT的特征值，并取最大的特征值max。所以max2max22所以,AA。3．证明方程013xx在[1，2]上有一实根*x，并用二分法求这个根。要求3110kkxx。请给出程序和运行结果。解：令1)(3xxxf，则13)(2xxf，在[1，2]上0)(xf恒成立，即该函数在[1，2]上单调递增；又因为有05)2(,01)1(ff，由介值定理可知)(xf在[1，2]上有且只有一个实根。以下是程序运行截图和结果说明：运行结果是p=1.325195312500000，k=10。4.用Newton迭代法求方程02010223xxx的一个正根，计算结果精确到7位有效数字。要求给出程序和运行结果。解：令20102)(23xxxxf，则有1043)(2xxxf。用Newton迭代法求解，取初值5.10x，最大迭代步数N=500，精度510ep。程序截图以及运行结果说明如下：运行结果是k=2，x精确到7位有效数字是1.368808。5.用牛顿迭代法求方程013xx在10x，附近的根。要求给出程序和运行结果。解：令1)(3xxxf，则有13)(2xxf，题已经给定了初值10x，给出最大迭代步数N=500，精度510ep。如下是程序截图和运行结果说明：Newton迭代法求得x=1.324717957244790，迭代次数k=4。6.证明迭代格式0,0,3)3(0221xaaxaxxxkkkk是计算a的三阶方法。解：由Newton迭代法可知：axaxxxg223)3()(，所以aag)(，即a是)(xg的不动点，对)(xg求导可得2222)3()(3)(axaxxg（显然0)(ag），再次求导可得322)3()(48)(axaxaxxg（同样有0)(ag），再求导可得423422)3(48432864)(axaaxxaxg，显然有0)(ag，所以由定理3-6可知，在该迭代格式中，)(1kkxgx是在点a邻近是三阶收敛的，即该迭代格式是计算a的三阶方法。7.用Newton迭代法求方程010423xx在[1，2]内的根，要求5110kkxx，给出程序和运行结果。解：计算步骤和程序运行及结果如下：运行结果是：x=4.494939671300712，k=1。即该方程的根并不在区间[1，2]中8.导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。提示：对axxf3)(使用Newton法迭代公式2313kkkkxaxxx,1,0),2(312kxaxkk，用全局收敛性定理或局部收敛性定理讨论其收敛性。解：求立方根3a的迭代公式，先给出方程03ax，即将原问题转变成求方程的解。令axxf3)(，进而有23)(xxf，带入Newton迭代公式)()()(xfxfxxg可以得到所求迭代公式为：)2(3132231kkkkkkxaxxaxxx。收敛性证明：令)2(31)(2xaxxg，所以有33)(aag，即3ax是)(xg的不动点。又因为有)1(32)(3xaxg，所以)(xg在3a的某个领域上连续，将3ax代入)(xg可以得0)(xg，即1)(xg，由局部收敛定理可知所求得的迭代过程局部收敛。9．Newton迭代法是如何推出的？它若在单根附近收敛，是几阶收敛？在重根附近是几阶收敛？求方程重根时，能达到2阶收敛的改进Newton迭代公式是什么？解：①Newton迭代法推出过程：设np是方程0)(xf的一个近似根，将)(xf在np处泰勒展开可得：2)(!2)())(()()(nnnnnpxfpxpfpfxf取该展开式的线性部分来近似)(xf，即)(xf的线性化，得到近似线性方程0))(()()(nnnpxpfpfxf设0)(npf，令上式的解为1np，从而得到Newton迭代法：,1,0,)()(1npfpfppnnnn②Newton迭代法如果在单根附近收敛时，是一阶收敛③如果根的重数为m，则在该重根附近是m阶收敛的④能达到2阶收敛的改进Newton迭代公式有：是根的重数,)()()(mxfxfmxxg)()()()()()(2xfxfxfxfxfxxg10．用Guass消去法解线性方程组26151511-1311111-1-318433-124321xxxx并编写程序，给出运行结果。解：结果是X=[4.415814.08130.75670.4963]’11.用列主元Guass消去法求解以下三个线性方程组cAzbAyaAx,,其中417,400,410,230212104cbaA解：运行结果：x=[0.03851.23080.1538]’。同理，可以求得：y=[0.15380.92310.6154]’，z=[2.4231-0.46152.6923]’。12.编写用全主元Guass消去法解线性方程组的程序，并求解18443164233433241432113402.05432154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：程序截图如下：结果：x=[2.9412-3.82351.00000.94125.9412]’。13.用追赶法解线性方程组25210473332324343232121xxxxxxxxxx要求给出程序和运行结果。解：运行结果：x=[2-110]’。14.用LU分解法解线性方程组26151511-1311111-1-318433-124321xxxx要求给出程序和运行结果。解：程序截图如下：运行结果：x=[1.00002.00003.00000.0000]’。除此以外，还求得LU分解中的L和U：0303.40005.66667.30075.35.1043312，16364.01667.125.0018333.00833.00015.10001ul15.分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组（编写程序）141035310214310321321321xxxxxxxxx取初值0000x，精确到小数点后四位。解：程序截图和运行结果如下：Jacobi迭代法：运行结果是：k=13，x=[1.00001.00001.0000]’。Gauss-Seidel迭代法：运行结果是：k=7，x=[1.00001.00001.0000]’。16.给定线性方程组177222382311387531043214321321421xxxxxxxxxxxxxx（1）写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；（2）考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性。解：（1）Jacobi迭代格式：第一步迭代：)2217(71)2323(81)311(81)537(10132144213312421xxxxxxxxxxxxxx，由此推广到如下迭代格式：)2217(71)2323(81)311(81)537(101)(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(2）1（1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx，同理可得Gauss-Seidel迭代格式：)2217(71)2323(81)311(81)537(101)1(3)！(2)1(1)1(4)(4)！(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(2）1（1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx。（2）判断敛散性：对题给线性方程组，有：0000100003005030,70000800008000010,0221002300010000,72211823038150310UDLA所以对Jacobi迭代法，有0727271810418308308121010301ADIBJ，又因为18357.01JB，所以Jacobi迭代法收敛；对Gauss-Seidel迭代法，有，224391129112093064193233203301618380302101030)(1UDLBGS又因为有16918.02GSB，所以Gauss-Seidel迭代法同样收敛。17.给定线性