2014年10月04184自学考试线性代数试卷及答案

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。说明：本试卷中，TA表示矩阵A的转置矩阵，*A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，Ar表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶行列式111232221131211aaaaaa=2，若元素ija的代数余子公式为ijA（i,j=1,2,3)，则333231AAA【】A.1B.0C.1D.22.设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以21得到单位矩阵E，则A=【】A.2B.21C.21D.23.设向量组321,,的秩为2，则321,,中【】A.必有一个零向量B.B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵466353331A,则下列向量中是A的属于特征值2的特征向量为【】A.011B.101C.201D.2115.二次型212322213214),,(xxxxxxxxf的正惯性指数为【】A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、6.设1312)(xxf，则方程0)(xf的根是7.设矩阵0210A,则*A=8.设A为3阶矩阵，21A,则行列式1)2(A=9.设矩阵4321B,2001P,若矩阵A满足BPA,则A=10.设向量T)4,1(1,T)2,1(2,T)2,4(3,则3由21,线性表出的表示式为11.设向量组TTTk),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321线性相关，则数k12.3元齐次线性方程组003221xxxx的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A满足023AE，则A必有一个特征值为14.设2阶实对称矩阵A的特征值分别为1和1，则2A15.设二次型212221212),(xtxxtxxxf正定，则实数t的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013D的值。17.已知矩阵0001001011223aaaaaaA，求1A。18.设矩阵110011111A,且矩阵X满足XAEAX3,求X。19.设向量TTTTkkkk)1,1,1,1(,)1,,1,1(,)1,1,2,1(,)1,1,1,1(2321,试确定当k取何值时能由321,,线性表出，并写出表示式。20.求线性方程组1332122043214324321xxxxxxxxxxx的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。21.设矩阵11131111xA与对角矩阵200020001B相似，求数x与可逆矩阵P，使得BAPP1。22.用正交变换将二次型3123222132122),,(xxxxxxxxf化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。四、证明题（本题7分）23.设向量组321,,线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零．．．．的常数321,,kkk使得0332211kkk。2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.D2.A3.C4.B5.C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6.57.02108.419.2232110.213311.112.113.2314.E15.0＜t＜1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解3100131001310013D=3100131000130131......3分5555000310013100131......9分17.解0001100100101000011000000110000001010000100100100011232223aaaaaaaaaaaa......2分00110000100100100001010000001aaa..........7分从而00101010010001aaaA......9分18.解由XAEAX3,得EAXEA3)(......2分又由010001110100010001110011111EA可逆......5分由EAXEA3)(,可得))(()(2EAAEAXEA两边左乘1)(EA,得到3311233221000100011100111111211022102EAAX......9分19解设332211xxx，......2分该线性方程组的增广矩阵为22222000100101111111111111211111kkkkkkkkkkA......6分由于能有321,,线性表出，则必有3)()(ArAr此时0k，方程组有唯一解0,1321xxx表示式为1......9分20.解方程组的增广矩阵000001221011101133211221001111A......2分可知2)()(ArAr＜＜4，方程组有无穷多解......4分由同解方程组4324312211xxxxxx求出方程组的一个特解T)0,0,1,1(*,导出组的一个基础解系为TT)1,0,2,1(,)0,1,2,1(21......7分从而方程组的通解为TTTcccc)1,0,2,1()0,1,2,1()0,0,1,1(212211*21,(cc为任意常数）......9分21.解由条件可知矩阵A的特征值为2,1321......2分由0101121110xxAE，得1x......4分对于11，由线性方程组0)(xAE求得一个特征向量为T)1,1,1(1对于232，由线性方程组0)2(xAE求得两个线性无关的特征向量为TT)1,1,0(,)1,0,1(32令111101011),,(321P,则BAPP1......9分22.解二次型的矩阵101020101A......2分由0)2(1010201012AE故A的特征值为0,2321......4分对于221，求解齐次线性方程组0)(xA，得到基础解系T)1,0,1(3将其单位化，得T)21,0,21(3......7分令2121000121210),,(321P,则P为正交矩阵，经正交变换321321yyyPxxx，化二次型为标准形222122yy......9分四、证明题（本题7分）23.证由于向量组321,,线性相关，故存在不全为零的常数321,,kkk，使得0332211kkk......2分其中必有01k。否则，如果01k，则上式化为03322kk其中32,kk不全为零，由此推出32,线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾......5分类似地，可证明0,032kk........7分