第二节--函数的求导法则

第二节函数的求导法则•一、和、差、积、商的求导法则•二、反函数的求导法则•三、复合函数的求导法则•四、基本求导法则与求导公式•五、小结思考题一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证(3)),0)((,)()()(xvxvxuxf设hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0证(1)、(2)略.hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh2)]([)()()()(xvxvxuxvxu.)(处可导在xxf推论;)(])([)1(11niiniixfxf);(])([)2(xfCxCf;)()()()()()()()(])([)3(1121211ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例1.sin223的导数求xxxy解23xyx4例2.ln2sin的导数求xxy解xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.cosx.2sin1ln2cos2xxxx例3.tan的导数求xy解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx即.csc)(cot2xx同理可得例4.sec的导数求xy解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin.cotcsc)(cscxxx同理可得例5.sinh的导数求xy解])(21[)(sinhxxeexy)(21xxee.coshx同理可得xxsinh)(coshxx2cosh1)(tanh例6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求设解,1)(xf,0时当x,0时当xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0)11ln(1lim0xhhh,11x,0时当xhhfh)01ln()0(lim)0(0,1hhfh)01ln()]0(1ln[lim)0(0,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf二、反函数的求导法则定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证,xIx任取xx以增量给的单调性可知由)(xfy,0y于是有,1yxxy,)(连续xf),0(0xy0)(y又知xyxfx0lim)(yxy1lim0)(1y.)(1)(yxf即),0(xIxxx例7.arcsin的导数求函数xy解,)2,2(sin内单调、可导在yIyx,0cos)(sinyy且内有在)1,1(xI)(sin1yycos1y2sin11.112x.11)(arccos2xx同理可得;11)(arctan2xx)(arcsinx.11)cot(2xxarc例8.log的导数求函数xya,0ln)(aaayy且,),0(内有在xI)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解,),(内单调、可导在yyIax特别地.1)(lnxx三、复合函数的求导法则定理).()(,)]([,)()(,)(0000000xufdxdyxxfyxuufyxxuxx且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证,)(0可导在点由uufy)(lim00ufuyu)0lim()(00uufuy故uuufy)(0则xyx0lim])([lim00xuxuufxxuxuufxxx0000limlimlim)().()(00xuf推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例9.sinln的导数求函数xy解.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot例10.)1(102的导数求函数xy解)1()1(10292xxdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx例11.arcsin22222的导数求函数axaxaxy解)arcsin2()2(222axaxaxy2222222222121xaaxaxxa.22xa)0(a例12.)2(21ln32的导数求函数xxxy解),2ln(31)1ln(212xxy)2(31211212xxxy)2(3112xxx例13.1sin的导数求函数xey解)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex.1cos11sin2xexx四、基本求导法则和求导公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(21.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc2.函数的和、差、积、商的求导法则设都可导，则)(),(xvvxuu)0('')'()4(,'')'()3((')'()2(,'')'()1(2vvuvvuvuuvvuuvCCuCuvuvu是常数）3.复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例14.的导数求函数xxxy解)(21xxxxxxy))(211(21xxxxxxx))211(211(21xxxxxx.812422xxxxxxxxxx例15.)](sin[的导数求函数nnnxfy解)](sin[)](sin[1nnnnnxfxnfy)(sin)(sin1nnnxxn1cosnnnxx).(sin)](sin[)(sin)](sin[cos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn五、小结注意:);()(])()([xvxuxvxu.)()(])()([xvxuxvxu分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数的复合结构.思考题一求曲线上与轴平行的切线方程.32xxyx思考题一解答232xy令0y0322x321x322x切点为964,32964,32所求切线方程为964y964y和一、填空题：1、设xxysin，则y=__________.2、设xeayxx23，则dxdy=__________.3、设)13(2xxeyx,则0xdxdy=__________.4、设1sectan2xxy,则y=_________.5、设553)(2xxxfy,则)0(f=________.6、曲线xysin2在0x处的切线轴与x正向的夹角为_________.练习题二、计算下列各函数的导数：1、211xxy；2、110110xxy；3、21csc2xxy；4、ttxf11)(,求)4(f；5、)0,0(baaxxbbaybax.三、求抛物线cbxaxy2上具有水平切线的点.四、写出曲线xxy1与x轴交点处的切线方程.一、1、)cos2sin(xxxx；2、22ln3xeaaxx；3、2；4、)tansec2(secxxx；5、253；6、4.二、1、22)1(21xxx；2、2)110(10ln210xx；3、222)1(]2cot)1[(csc2xxxxx；4、181；5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax.三、)44,2(2aacbab.四、022yx和022yx.练习题答案思考题二若)(uf在0u不可导，)(xgu在0x可导，且)(00xgu，则)]([xgf在0x处（）．（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；思考题解答正确地选择是（3）例||)(uuf在处不可导，0u取xxgusin)(在处可导，0x|sin|)]([xxgf在处不可导，0x)1(取4)(xxgu在处可导，0x44||)]([xxxgf)2(在处可导，0x一、填空题：1、设4)52(xy,则y=___________.2、设xy2sin,则y=____________.3、设)arctan(2xy,则y=____________.4、设xycosln,则y=____________.5、设xxy2tan10，则y=____________.6、设)(xf可导，且)(2xfy，则dxdy=___________.7、设xkexftan)(,则)(xf=__________，若ef4，则k___________.练习题2二、求下列函数的导数：1、xy1arccos；2、xxy2sin；3、)ln(22xaxy；4、)cotln(cscxxy；5、2)2(arcsinxy；6、xeyarctan；7、xxyarccosarcsin；8、xxy11arcsin.三、设)(xf，)(xg可导，且0)()(22xgxf,求函数)()(22xgxfy的导数.四、设)(xf在0x处可导，且0)0(f，0)0(f,又)(xF在0x处可导，证明)(xfF在0x处也可导.一、1、3)52(8x；2、x2si