直线与抛物线位置关系

-1-直线与抛物线的位置关系一、选择题(每小题5分，共20分)1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在2．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(ab0)的曲线大致为()3．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.223C.23D.234．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.6．直线y＝x＋b交抛物线y＝12x2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过抛物线y2＝2px的焦点且倾斜角为π4的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中垂线恰好过点Q(5,0)，求抛物线的方程．直线与抛物线位置关系1.解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B2.解析：方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为x21a2＋y21b2＝1，y2＝－abx.因为ab0，所以1b1a0.所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.方法二：方程ax＋by2＝0中，将y换成－y，其结果不变，即ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.3.解析：过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，-2-由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2|BF|＝|AF|，∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．从而yA＝2yB，联立方程组y＝kx＋，y2＝8x⇒消去x得y2－8ky＋16＝0，∴yA＋yB＝8k，yA·yB＝16⇒3yB＝8k，2y2B＝16，，消去yB得k＝223.故选B.4.解析：∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A.5.解析：由x－y－1＝0y＝ax2，得ax2－x＋1＝0，Δ＝1－4a＝0，得a＝14.答案：146.解析：由y＝x＋by＝12x2，得x2－2x－2b＝0，Δ＝(－2)2＋8b0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，于是y1y2＝14(x1x2)2＝b2，由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．b＝2适合Δ0.答案：27.解析：弦AB中点为M，MQ为AB的中垂线，AB的斜率为1，则lMQ：y＝－x＋5.设lAB：y＝x－p2.联立方程组y＝x－p2，y2＝2px.得x2－3px＋p24＝0，∴x1＋x2＝3p.①联立方程组y＝－x＋5y＝x－p2，得2x＝5＋p2，则x1＋x2＝5＋p2②-3-联立①②，解得p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.